Obsah lekce: Tato lekce se věnuje rekurzivním procedurám a výpočetním procesům generovaným rekurzivními procedurami. Dále ukážeme, jak je možné použít princip indukce pro dokázánísprávnosti definice rekurzivní procedury. Nejprve se zaměříme na rekurzi a princip indukce přes přirozenáčísla. Dále ukážeme rekurzi a indukci na seznamech, které hrají (nejen) ve funkcionálním programování klíčovou roli. Během výkladu se budeme zabývat vlastnostmi výpočetních procesů generovaných rekurzivními procedurami, jejich složitostí, průběhem výpočtu a jeho náročností.

Klíčová slova: ##koncová_rekurze, ##lineární_rekurze, ##princip_indukce, ##rekurze, ##stromová_rekurze, ##střadače.

s8_1

Pojmy rekurze a indukce jsou jedny z nejdůležitějších pojmů v informatice a to jak teoretické tak aplikované.

V této úvodnísekci se budeme oběma pojmy zabývat spíše z matematického pohledu, ale ukážeme jejich silnou vazbu k funkcionálnímu programování a programování obecně. Aby nedošlo hned na počátku k nějakému nedorozumění, upozorněme na fakt, že slovo „rekurze“ má v informatice, ale i v jiných disciplínách (například v logice), mnoho různých významů. My se budeme zabývat rekurzí jako metodou definice funkcí (ve smyslu matematických funkcí, čili zobrazení) a procedur. Indukci budeme používat jako obecný dokazovací princip jímž budeme schopni dokazovat vlastnosti rekurzivně definovaných funkcí a procedur.

V programátorské terminologii je pod pojmem rekurzivní procedura obvykle myšlena procedura, která ve svém těle provádí aplikaci sebe sama. Tak se na rekurzivní procedury budeme dále v textu dívat i my. Ukážeme, že rekurzí (to jest „aplikací sebe sama“) lze vyřešit mnoho problémů z předchozích lekcí elegantně (co se týče jejich naprogramování a čitelnosti kódu) a efektivně (co se týče jejich výpočetnísložitosti). Na úvod také podotkněme, že rekurzivní procedury (procedury aplikující sebe sama) jsou z technického hlediska obyčejné procedury. Při úvahách o rekurzivních procedurách tedy nebudeme muset nijak rozšiřovat modely vyhodnocování elementů ani aplikace procedur. Důvodem, proč se těmto „vlastně obyčejným procedurám“ budeme věnovat několik lekcí je, že programátoři potřebují obvykle delší dobu na úplné pochopení rekurze jako principu – od programátora to vyžaduje jistou dávku představivosti a také trpělivosti (zvláště při počátečním seznamováníse s problematikou a s řešením prvních příkladů).

Nyní si ukážeme několik definic pomocí rekurze. Abychom si ukázali, že rekurze jako princip není omezená jen na „programování procedur“, budeme si v této sekci ukazovat rekurzivní definice různých zobrazení, se kterými jsme se již setkali v předchozích lekcích. Nebudeme přitom zatím ukazovat přímou vazbu na jazyk Scheme. V dalších sekcích si pak ukážeme souvislost s vytvářením rekurzivních procedur (ve Scheme).

Uveďme si nejprve několik motivačních příkladů. V sekci 7.6 jsme uvedli proceduru pro výpočet faktoriálu daného čísla. Faktoriál \(n!\) čísla \(n\) jsme popsali poněkud neformálně jako „součin čísel od 1 do n“. Mohli bychom jej však definovat daleko přesněji. Faktoriál lze chápat jako funkci (zobrazení), které každému nezápornému celému číslu n přiřazuje hodnotu n! danou následujícím vztahem: \(1 pokud n ≤ 1, n! = n · (n − 1)! jinak\).

Tento vztah říká, že faktoriál nuly a jedničky je roven jedné (první řádek definičního vztahu). Pro n ≥ 2 je faktoriál n! definován na druhém řádku jako číslo dané n · (n − 3)!. Slovně řečeno, faktoriál pro n ≥ 2 získáme jako „součin n s faktoriálem n − 1“. V předchozí definici jsme vlastně zavedli faktoriál čísla n pomocí faktoriálu menšího čísla. Nejednáse ale o „definici kruhem“, protože faktoriál n je vyjádřen pomocí faktoriálu n − 1 (tedy pomocí hodnoty jiného faktoriálu, nikoliv pomocísvé vlastní hodnoty, což by vedlo „do kruhu“).

Výše uvedená definice n! je prvním příkladem rekurzivní definice. V tomto případě tedy rekurzivní definice zobrazeníz N0 (nezápornáceláčísla) do N (přirozenáčísla).

Rozepíšeme-li hodnoty 0!, 1!, 2!, … podle předchozí definice, získáme: 0! = 1, 1! = 1, 2! = 2 · 1! = 2 · 1 = 2, 3! = 3 · 2! = 3 · 2 · 1! = 3 · 2 · 1 = 6, 4! = 4 · 3! = 4 · 3 · 2! = 4 · 3 · 2 · 1! = 4 · 3 · 2 · 1 = 24, … str191

Všimněte si, že počínaje třetím řádkem můžeme hodnotu faktoriálu jednoznačně spočítat na základě znalosti výsledku z předchozího řádku. To přesně koresponduje s definičním předpisem n! pro n ≥ 2. Stručněji zapsáno tedy máme:

0! = 1, 1! = 1, 2! = 2 · 1! = 2 · 1 = 2, 3! = 3 · 2! = 3 · 2 = 6, 4! = 4 · 3! = 4 · 6 = 24, …

Ačkoliv jsme pro n nabývající konkrétních hodnot \(n = 0, \cdots , 4\) ukázali, že výsledky n! jsou jednoznačně definované (a mají očekávané hodnoty), nijak jsme zatím neprokázali tento fakt pro libovolné nezáporné celé n. Je přirozeně jasné, že nelze udělat „ruční výpis n!“ pro každén, protože nezáporných celých čísel je nekonečně mnoho. Pro ověřenísprávnosti tedy musíme sáhnout po nějakém formálním dokazovacím principu14. Správnost našeho zavedenísi za chvíli dokážeme pomocí matematickeíndukce. Ještě předtím však uveďme druhý příklad.

Posloupnost \(F_0, F_1, F_2, \cdots \) Fibonacciho čísel, kterou jsme neformálně zavedli v sekci 7.6 jako „posloupnost začínající 0 a 1 a jejíž každý další prvek je součtem předchozích dvou“, bychom nyní mohli přesně zavé st pomocí definičního vztahu

 0 pokud n = 0,

 Fn = 1 pokud n = 1,

 Fn−1 + Fn−2 jinak.

Nebo pomocí jeho stručnější ekvivalentní varianty

n pokud n ≤ 1,

Fn = Fn−1 + Fn−2 jinak.

Jedná se opět o příklad rekurzivní definice, protože jsme hodnotu Fn (to jest n-té Fibonacciho číslo) definovali pomocí hodnot Fn−2 a Fn−1. Je v celku evidentní, že každé Fi je jednoznačně definované a že přiřazenín → Fn (pro každé nezáporné celé n) je zobrazení z množiny N0 do množiny N0, přesto i tento fakt dále dokážeme indukcí. Dosazením do výše uvedeného definičního vztahu můžeme vyjádřit Fibonacciho čísla F0, … , F4, … následovně: \begin{align} F_0 &= 0, \\ F_1 &= 1, \\ F_2 &= F_1 + F_0 = 0 + 1 = 1, \\ F_3 &= F_2 + F_1 = (F_1 + F_0) + F_1 = (1 + 0) + 1 = 2, \\ F_4 &= F_3 + F_2 = (F_2 + F_1) + (F_1 + F_0) = ((F_1 + F_0) + F_1) + (F_1 + F_0) = ((1 + 0) + 1) + (1 + 0) = 3, \\ \cdots \end{align}

Obdobně jako i u faktoriálu můžeme vidět, že počínaje třetím řádkem můžeme každé Fibonacciho číslo stanovit z hodnot předchozích dvou řádků, to jest:

F0 = 0, F1 = 1, F2 = F1 + F0 = 0 + 1 = 1, F3 = F2 + F1 = 1 + 1 = 2, F4 = F3 + F2 = 2 + 1 = 3,

14Někdo by v tomto okamžiku mohl namítat, že „správnost je přece jasná“. V případě faktoriálu bychom mohli připustit, že správnost jeho rekurzivního zavedení je zřejmá. V praxi je však potřeba definovat rekurzivně daleko složitější zobrazení, u kterých již o správnosti naší vlastní definice nemusíme být „jen tak“ přesvědčeni (správněji: neměli bychom být přesvědčeni – pokud ovšem netrpíme obzvláště vyvinutým syndromem „programátorské arogance“), a měli bychom mít tedy k dispozici formální aparát, kterým správnost prokážeme.

str192

F5 = F4 + F3 = 3 + 2 = 5, F6 = F5 + F4 = 5 + 3 = 8, …

V tuto chvíli bychom mohli říct, že pro princip definice rekurzí je charakteristické, že n-tá hodnota zobrazení (kromě nulté) může být (obecně ale nemusí) definována pomocí hodnoty příslušné některému předchůdci čísla n. Jelikož 0 nemá předchůdce, funkční hodnota pro nulu musí být explicitně definována bez rekurze.

V další části této sekce navíc zjistíme, že princip rekurze je možne úplatnit nejen pro definice zobrazeníz množin nezáporných celých čísel (do nějakých jiných množin), nýbrž i pro definice obecných zobrazení z množin hodnot s vhodnou strukturou (například seznamů).

Slovo rekurze pocházíz latiny a jeho původním významem je „jít zpět“, což dobře koresponduje s tím, jak chápeme rekurzi jako princip definice matematických funkcí (zobrazení): funkční hodnoty pro některán jsou definovány pomocí funkčních hodnot pro čísla předcházejícín. Při výpočtu funkční hodnoty pro n se tedy „jde zpět“ k funkčním hodnotám pro čísla ostře menšínež n, jejich funkční hodnoty mohou být opět definovány pomocí funkčních hodnot předchozích čísel, a tak dále. Při výpočtu se tedy postupuje od funkční hodnoty pro n směrem k funkčním hodnotám pro čísla menší než n.

Nyní si ukážeme princip indukce přes přirozená čísla (princip matematické indukce), který bude dostačovat při dokazování vlastností rekurzivně definovaných funkcí (zobrazení) jakými byly výše uvedenén! (faktoriál) a Fn (Fibonacciho čísel). Z praktických důvodů budeme v dalším výkladu přidávat k množině přirozených čísel i nulu a nebudeme to již všude zdůrazňovat.

V následujícím výkladu budeme pracovat s pojmem „vlastnost přirozeného čísla“. Samotný pojem „vlastnost“ nebudeme příliš formalizovat. Vlastnost budeme značit P . Budeme-li mít dánu vlastnost P , pak budeme vždy předpokládat, že pro každé přirozenéčíslo n platí: buď (i) n má/splňuje vlastnost P (vlastnost P platí pro n), což budeme dále značit P (n), nebo (ii) n nemá/nesplňuje vlastnost P (vlastnost P neplatí pro n)15.

Poznámka 8.1. Jako příklady vlastností přirozených čísel můžeme uvést vlastnost P , která říká: „n je sudé“, dále vlastnost P , která říká „n je prvočíslo“ a podobně. Tyto dvě vlastnosti platí pro některá přirozenáčísla a pro jináneplatí. Třeba vlastnost P : „n je dělitelné jedničkou“ platí pro každé přirozenéčíslo. V dalším textu pro nás budou důležité právě vlastnosti platné pro každé přirozené číslo (bude se však jednat o vlastnosti netriviálního charakteru dané rekurzivními předpisy funkcí, výrazně složitější než „n je dělitelné jedničkou“, a jejich platnost pro každén budeme muset prokázat). Pokud bude někdy ve slovním popisu figurovat více čísel, pak by mohlo z vágního popisu (v přirozeném jazyku) dojít k nedorozumění. Například v popisu vlastnosti „číslo n je menší nebo rovno číslu m“ figurují označení „dvou čísel“, není tedy jasné, ke kterému se vlastnost vztahuje (přitom je díky použité nerovnosti čísel podstatný rozdíl v tom, jestli vlastnost vztáhneme k n či k m). V takovém případě budeme vlastnost symbolicky zapisovat ve tvaru P (n): „ … n … “, abychom explicitně vyjádřili, že se v popisu vyjadřuje vlastnost čísla označeného n.

V následující větě je prokázána platnost principu indukce přes přirozená čísla.

Věta 8.2 (princip indukce přes přirozenáčísla). K tomu abychom ověřili, že vlastnost P platí pro každén ∈ N0, stačí prokázat platnost následujících dvou bodů:

(i) platí P (0),

(ii) pokud platí P (i), pak platí P (i + 1).

15Toto neformální chápání vlastností budeme však muset používat velice obezřetně. Snadno bychom totiž mohli vytvořit vlastnost, která by vedla k logickým paradoxům. V tomto kursu však budeme vždy používat vlastnosti, které k nim nevedou. Více informací o problematice paradoxů bude studentům předneseno v rámci kursu matematické logiky.

str193 Důkaz. Tvrzení dokážeme sporem. Nechť jsou splněny body (i) a (ii) a zároveň existuje číslo n ∈ N0, které nemá vlastnost P . Ze všech čísel, která nemají P můžeme vybrat nejmenší z nich (nejmenší takové číslo vždy existuje, protože množina přirozených čísel je dobře uspořádanaá z předpokladu plyne, že existuje aspoň jedno takové číslo). Označme toto číslo n0. Pak n0 nemůže být rovno 0, protože bychom porušili platnost (i). Tím pádem n0 ≥ 1. Jelikož jsme n0 zvolili jako nejmenší z čísel nemajících P , pak n0 − 1 musí mít P . Potom ale dle bodu (ii) i n0 musí mít P , což je spor.

Následující příklady ukazují použití principu indukce k prokázání jednoznačnosti a správnost rekurzivních definic faktoriálu a posloupnosti Fibonacciho čísel.

Příklad 8.3. Všimněte si, že principem indukce, viz větu 8.2, nyní můžeme snadno prokázat, že výše uvedená rekurzivní definice n! je skutečně korektní, to jest že každému n přiřazuje jednoznačně hodnotu n!, která je součinem čísel od jedné do n. Uvažujme vlastnost P , která říká: „hodnota n! je jednoznačně definovaná“. Pro n = 0 platí P zcela jasně, protože je to dáno prvním řádkem definičního vztahu, bod (i) věty 8.2 je tedy pro P splněn triviálně. Ověříme bod (ii). Předpokládejme, že n má vlastnost P , tedy hodnota n! je jednoznačně daná. Pokud je n = 0, pak pro n + 1 je situace opět pokryta prvním řádkem (a indukční předpoklad v tomto případě na nic nepotřebujeme). Pokud n > 1, pak z toho, že n! je jednoznačně danaá z druhého řádku odvodíme (n + 1)! = (n + 1) · (n + 1 − 1)! = (n + 1) · n!, což je jednoznačně daná číselná hodnota vzniklá vynásobením n! (jednoznačně dané) s číslem n + 1. Bod (ii) taky platí. Použitím principu indukce jsme tedy prokázali jednoznačnost předchozí rekurzivní definice n!. Stejně tak bychom mohli principem indukce dokázat platnost vlastnosti P říkající „n! je násobkem přirozených čísel od 1 do n“.

Příklad 8.4. Analogicky můžeme principem indukce prokázat, že definice Fn je korektní pro každé n.

Uvažujme pro tento účel vlastnost P (n): „Fi je jednoznačně definované číslo pro každé nezáporneí ≤ n“.

Evidentně n = 0 splňuje P , tedy (i) z věty 8.2 pro P platí. Stejně tak pro n = 1 platí P . Z předpokladu, že P platí pro n nyní odvodíme platnost P pro n + 1. To, že P platí pro n znamená, že hodnoty všech Fi, kde i ≤ n, jsou jednoznačně dané. Máme ukázat, že i Fn+1 je jednoznačně daná. Podle druhého řádku rekurzivní definice Fibonacciho čísel platí:

\(F_n+1 = F_n+1−1 + F_n+1−2 = F_n + F_n−1\).

To jest, Fn+1 je hodnota vzniklá součtem dvou jednoznačně daných hodnot Fn a Fn−1 (jejich jednoznačnost je daná induktivním předpokladem), tedy i Fn+1 je jednoznačně daná hodnota. Pro P tedy platí i bod (ii) věty 8.2, to jest každé Fn je jednoznačně dané.

Všimněte si, že v rekurzivních definicích faktoriálu a Fibonacciho čísel nemůžeme vypustit mezní případy. To jest pro faktoriál případy 0! = 1! = 1 a pro Fibonacciho čísla F0 = 0 a F1 = 1. Bez nich by totiž definice nebyla úplná (a tím pádem ani jednoznačná). Dále si všimněte, že při definici rekurzí „jdeme zpět“, to jest vyjadřujeme funkční hodnoty pomocí funkčních hodnot definovaných pro předcházející čísla. U principu indukce je tomu naopak. Při prokazování indukcí „jdeme dopředu“.

Rekurze a indukce nemusejí „jít jen přes přirozená čísla“. V předchozích ukázkách jsme použili principy rekurze a indukce díky tomu, že pro každé uvažované nezáporné celé číslo n jsme vždy byli schopni rozlišit dva základní případy:

(i) buď platín = 0,

(ii) nebo je n ve tvaru m + 1, kde m ∈ N0.

To jest buď bylo dané nezáporné celé číslo nula, nebo bylo následníkem jiného nezáporného celého čísla.

Principy rekurze a indukce byly možné právě díky tomu, že množina uvažovaných čísel N0 (případně vybavená operacemi jako je sčítání a podobně) měla tuto vhodnou strukturální vlastnost. Existují však i jiné množiny, u kterých lze přirozeně najít strukturální vlastnosti, které umožňují mít principy rekurze a indukce (v modifikované podobě). Pro nás jako informatiky bude důležitá množina všech seznamů (vybavená dalšími operacemi) a principy rekurze a indukce, které půjdou „přes seznamy.“

str194 Abychom se nyní mohli bavit o rekurzi a indukci na seznamech, ale pořád si (zatím) zachovali jistý ostup od programovacího jazyka Scheme, zvolíme následující notaci. Množinu všech neprázdných seznamů (chápaných jako elementy) budeme označovat L; množinu všech seznamů (chápaných jako elementy) budeme označovat L; množinu všech elementů budeme označovat E. Máme tedy L ⊂ L

⊂ E, přitom

()

()

L = L ∪ {()}.

Samotné seznamy, to jest prvky množiny L , budeme označovat jako obvykle, i když v tuto ()

()

chvíli je pro nás mnohem důležitější množina všech seznamů L než konkrétní seznamy. Plně v souladu () s pojetím procedur jako matematických funkcí (viz sekci 2.5 na straně 57) můžeme nyní chápat konstruktor cons a selektory car a cdr jako následující zobrazení:

cons : E × L → L,

()

car : L → E ,

cdr : L → L .

()

To jest, cons zobrazuje dvojice element, seznam na neprázdné seznamy (funkční hodnota cons(e, l) představuje seznam vzniklý připojením elementu e na začátek seznamu l); car zobrazuje neprázdné seznamy na elementy (funkční hodnota car(l) představuje první prvek seznamu l); cdr zobrazuje neprázdné seznamy na seznamy (funkční hodnota cdr(l) představuje seznam l bez prvního prvku). Snadno nahlédneme, že procedury cons, car a cdr lze skutečně chápat jako reprezentace zobrazenícons, car a cdr. Pomocí funkce cons můžeme vyjádřit strukturální vlastnost seznamů, kterou budou používat dále uvedené principy rekurze a indukce: pro každý seznam l ∈ L platí, že

()

(i) buď je l prázdný seznam,

(ii) nebo existuje seznam k ∈ L a element e ∈ E tak, že platí l = cons(e, k).

()

Nyní bychom mohli uvažovat další procedury, třeba length a append2, a jim odpovídající zobrazení: append2 : L × L → L ,

()

()

()

length : L → ()

N0.

Zobrazení append2 zobrazuje dvojice seznamů na seznam vzniklý jejich spojením, zobrazení length zobrazuje seznamy na jejich délky.

Nyní se nám nabízí alternativní pohled na procedury versus zobrazení (matematické funkce). Většinu procedur, se kterými se při programování v Jazyku Scheme setkáváme, lze považovat za konečné reprezentace zobrazení, to jest konečné reprezentace obecně nekonečných matematických objektů. Funkcionální jazyk považujeme za čistý, pokud lze každou primitivní proceduru tohoto jazyka chápat jako reprezentaci zobrazení a v jazyku nelze vytvořit uživatelsky definovanou proceduru, která by nějaké zobrazení nereprezentovala. Jazyk Scheme z tohoto pohledu čistý není. To je důsledek mimo jiné toho, že s prostředím manipulujeme jako s elementem prvního řádu a umožňujeme explicitní vyhodnocení elementů relativně vzhledem k prostředí, viz lekci 6. Mezi čisté funkcionální jazyky patří třeba Haskell a Clean.

Zobrazení length a append2 můžeme velmi snadno nadefinovat rekurzí přes seznamy. Při tomto typu rekurze jsou funkční hodnoty f (… , l, … ), kde l je seznam, vyjádřeny pomocí funkčních hodnot f (… , k, … ), kde k je seznam vyjádřitelný z l pomocí (aspoň jednoho) použití car a cdr. Abychom zpřesnili pojem „být vyjádřitelný pomocí car a cdr“, zavedeme následující pojem.

Definice 8.5 (strukturální složitost seznamů). Seznam k se nazývái strukturálně jednodušší než seznam l, pokud existují zobrazení f1, … , fk (k ≥ 1) tak, že {f1, … , fk} ⊆ {car, cdr} a k = f1(f2(· · · (fk(l)) · · · )).

Princip definice rekurzí přes seznamy je tedy založen na tom, že definujeme (funkční) hodnotu pro prázdný seznam, který je ze všech seznamů strukturálně nejjednodušší (neexistuje seznam, který by byl strukturálně jednodušší než prázdný seznam), a dále v případě neprázdných seznamů vytvoříme předpis, který vyjádří (funkční) hodnoty pro tyto seznamy pomocí (funkčních) hodnot seznamů, které jsou strukturálně jednodušší.

Například u délky seznamu můžeme uvažovat takto:

str195

Obrázek 8.1. Schématické zachycení úvahy o spojení dvou seznamů

„Délka prázdného seznamu je nula. Pokud daný seznam není prázdný, pak je ve tvaru cons(e, k), kde k je opět seznam. Navíc k je vyjádřitelný pomocí cdr ze seznamu l, protože k = cdr(cons(e, k)) = cdr(l).

Jelikož je délka seznamu k o jedno menší než délka seznamu l, délku l lze vyjádřit pomocí délky k jako hodnotu 1 + length(k) = 1 + length(cdr(l)).“

Tato úvaha vede na následující rekurzivní definici:

0

pokud l je prázdný seznam,

length(l) = 1 + length(cdr(l)) jinak.

Předchozí definice vyjadřuje přesně to, jak jsme slovně length popsali. Zcela v souladu s tím, jak jsme v úvodu naznačili, jsme length definovali pro dva případy: nejprve jsme řekli, co je hodnotu length(()) (co je délkou prázdného seznamu) a pak jsme využili faktu, že druhý prvek každého neprázdného seznamu je opět seznam a můžeme pro něj uvažovat funkční hodnotu length a operovat s ní. Ukažme si funkční hodnoty length v případě některých seznamů:

length(()) = 0,

length((a)) = 1 + length(cdr((a))) = 1 + length(()) = 1 + 0 = 1, length((a b)) = 1 + length(cdr((a b))) = 1 + length((b)) = 1 + (1 + length(cdr((b)))) =

= 1 + (1 + length(())) = 1 + (1 + 0) = 2,

length((a b c)) = 1 + length(cdr((a b c))) = 1 + length((b c)) = 1 + (1 + length(cdr((b c)))) =

= 1 + (1 + length((c))) = 1 + (1 + (1 + length(cdr((c))))) =

= 1 + (1 + (1 + length(()))) = 1 + (1 + (1 + 0)) = 3,
...

Pro prázdný, jednoprvkový, dvouprvkový a tříprvkový seznamy jsou tedy funkční hodnoty výše definované length očekávané. Jak tomu bude v případě pro libovolný seznam? Stejně jako v případě faktoriálu a Fibonacciho čísel se o tom nemůžeme přesvědčit ručně tím, že „vypíšeme hodnoty“ length pro každý seznam (je jich nekonečně mnoho). Opět si ale poradíme tak, že představíme vhodný dokazovací princip a správnost definice pomocí něj prokážeme. Předtím si ale uvedeme ještě rekurzivní definici append2.

V případě append2 můžeme uvažovat takto:

str196 „Pokud spojíme prázdný seznam s libovolným seznamem k, pak je výsledkem spojení seznam k.

Pokud je l neprázdný seznam, můžeme uvažovat seznam j = cdr(l). Pokud spojíme j a k, vznikne nám seznam, kteryóbsahuje všechny prvky z l kromě prvního, následované prvky ze seznamu k.

Pokud k tomuto seznamu (to jest, k seznamu rovnajícímu se spojení j a k) připojíme na začátek první prvek z l (pomocícons), pak jsme získali spojení l a k. Schématicky je úvaha zobrazena na obrázku 8.1.“

Ačkoliv je předchozí úvaha možná o něco málo složitější, vede na následující rekurzivní definici: k pokud l je prázdný seznam,

append2(l, k) = cons(car(l), append2(cdr(l), k)) jinak.

Předchozí definice říká právě to, že (i) spojením prázdného seznamu s druhým seznamem získáme právě druhý seznam (neutralita prázdného seznamu vůči spojeníseznamů); (ii) druhý bod definice append2 říká, že v případě, kdy je první seznam neprázdný, stačí spojit první seznam bez prvního prvku s druhým seznamem a k tomuto výsledku připojit na začátek první prvek prvního seznamu. Všimněte si, že v definici funkční hodnoty append2(l, k) jde rekurze pouze přes l. To jest append2(l, k) je vyjádřena pomocí append2(cdr(l), k), seznam k se nemění. Rekurze přes k (druhý ze spojovaných seznamů) by nám při řešení této konkrétní úlohy k ničemu nebyla. Na tomto příkladu je již možná trochu vidět, že definice rekurzí vyžaduje určitý vhled do problému a cvik. Uveďme si nyní příklad vyjádřeníspojení dvou seznamů (a b) a (1 2 3) pomocí výše definovaného append2:

append2((a b), (1 2 3)) = cons(car((a b)), append2(cdr((a b)), (1 2 3))) =

= cons(a, append2((b), (1 2 3))) =

= cons(a, cons(car((b)), append2(cdr((b)), (1 2 3)))) =

= cons(a, cons(b, append2((), (1 2 3)))) = cons(a, cons(b, (1 2 3))) =

= cons(a, (b 1 2 3)) = (a b 1 2 3).

Nyní představíme princip indukce, který je použitelný pro dokazování vlastností zobrazení definovaných rekurzí přes seznamy. Nyní již nemůžeme použít klasickou matematickou indukci, protože ta „jde přes čísla“. V případě seznamů budeme používat indukci, který jde přes jejich „strukturu“, proto jí budeme říkat strukturální indukce. Analogicky rekurzi přes seznamy budeme říkat strukturální rekurze.

Věta 8.6 (princip strukturální indukce přes seznamy). K tomu abychom ověřili, že vlastnost P platí pro každý seznam l ∈ L , stačí prokázat platnost následujících dvou bodů: ()

(i) platí P(()), to jest P platí pro prázdný seznam,

(ii) pokud platí P (l), pak pro každýelement e platí P (cons(e, l)).

Důkaz. Tvrzení dokážeme opět sporem. Necht’jsou splněny body (i) a (ii) a zároveň existuje seznam l, který nemá vlastnost P . Ze všech seznamů, které i nemají P vybereme seznam s minimální délkou a označíme jej l0. Upozorněme na to, že obecně může existovat více seznamů se stejnou minimální délkou, které nemají vlastnost P . Vybraný seznam l0 tedy splňuje vlastnost, že každý (ostře) kratší seznam má vlastnost P .

Zcela evidentně l0 musí být neprázdný seznam, jinak by byl porušen bod (i). Jelikož je l0 neprázdný, je to seznam, který je výsledkem cons(e, l ), pro nějakýelement e a seznam l . Seznam l je o jeden element kratší než seznam l0, má tedy (ostře) menší délku. Tím pádem l musí mít vlastnost P . Potom dle bodu (ii) i l0 = cons(e, l ) musí mít vlastnost P , což je spor.

Příklad 8.7. Zobrazení length : L → () N0 je jednoznačně definované a jeho hodnoty jsou délky seznamů.

To jest pro každý seznam l je length(l) rovno délce seznamu l, tak jak jsme ji doposud chápali. Toto tvrzení můžeme dokázat principem strukturální indukce z věty 8.6. Vskutku, uvažujme vlastnost P (l): „Délka seznamu l je rovna length(l)“. Pro prázdný seznam () máme dle prvního bodu definice length(l) = 0, tedy délka prázdného seznamu je nula. To jest, prázdný seznam má vlastnost P , bod (i) věty 8.6 je pro P splněn.

Předpokládejme, že l má vlastnost P . To znamená, že length(l) je délka seznamu l. Pro to, abychom ověřili (ii) musíme pro každýelement e ukázat, že seznam cons(e, l) má vlastnost P . Jelikož je seznam cons(e, l) neprázdný, z druhého bodu definice length a ze zřejmého faktu cdr(cons(e, l)) = l dostáváme: length(cons(e, l)) = 1 + length(cdr(cons(e, l))) = 1 + length(l).

str197 To jest length(cons(e, l)) je rovno délce seznamu l zvětšené o 1. Jelikož je cons(e, l) seznam vzniklý z l připojením elementu e na začátek l, dostáváme, že length(cons(e, l)) je délkou seznamu cons(e, l), což znamená, že cons(e, l) má vlastnost P . Tím jsme dokončili důkaz bodu (ii) pro P . Z věty 8.6 tedy okamžitě dostáváme důkaz správnosti definice length.

Příklad 8.8. Správnost definice append2 můžeme prokázat podobně jako jsme prokázali správnost definice length. Nejprve si ale musíme uvědomit, přes který seznam budeme indukci provádět, protože append2 je zobrazení typu append2 : L × L → L . Pokud se podíváme na definici, pak vidíme, že append2(l, k) je ()

()

()

v netriviálním případě vyjádřen pomocí konstrukce obsahující append2(cdr(l), k). Se strukturou druhého seznamu (to jest seznamu k) se v definici nijak neoperuje. To nám napovídá, že indukci bychom měli vést přes seznam l. Uvažujme tedy vlastnost P (l): „Pro každý seznam k platí: spojení seznamů l a k (v tomto pořadí) je rovno append2(l, k)“. Prokážeme, že každý seznam l má vlastnost P . Pokud je l prázdný, pak zřejmě append2(l, k) = k, takže bod (i) věty 8. pro vlastnost P je triviálně splněn. Předpokládejme, že l má vlastnost P . To znamená, že pro každý seznam k platí, že append2(l, k) je seznam vzniklýspojením l a k. Nyní prokážeme, že každý seznam cons(e, l), kde e je libovolný element, má vlastnost P . Seznam cons(e, l) je neprázdný, tedy dle druhého bodu definice append2 a s využitím car(cons(e, l)) = e, cdr(cons(e, l)) = l,

můžeme vyjádřit

append2(cons(e, l), k) = cons(car(cons(e, l)), append2(cdr(cons(e, l)), k)) = cons(e, append2(l, k)).

Předchozí rovnost říká, že spojeníseznamu cons(e, l) se seznamem k je rovno připojení elementu e na začátek seznamu append2(l, k). Dle indukčního předpokladu je append2(l, k) výsledek spojeníseznamu l a k. To jest append2(cons(e, l), k) je rovno výsledku připojení elementu e na začátek spojeníseznamů l a k.

Jinými slovy, append2(cons(e, l), k) je spojeníseznamu cons(e, l) se seznamem k. Máme hotov důkaz bodu (ii) pro vlastnost P . Z věty 8.6 dostáváme, že výše uvedená definice append2 je korektní definice spojení dvou seznamů.

Poznámka 8.9. Na předchozích důkazech je zajímavé, že jsme prokázali vlastnosti nově definovaných zobrazení pracujících se seznamy, aniž bychom se zabývali tím, jak jsou seznamy reprezentovány (jak vypadají prvky množiny L ). Vše co nám stačilo, byl fakt, že seznam je buď prázdný, nebo jej lze chápat () jako funkční hodnotu cons(e, l). Z pohledu strukturální indukce je tedy stěžejní právě tato vlastnost, nikoliv to, zda-li chápeme seznamu jako „elementy jazyka konstruované z párů“ (viz lekci 4 a lekci 5) nebo třeba nějak úplně jinak. Se seznamy jsme v této sekci pracovali jako s prvky množiny L , které jsme vyjadřovali () pomocí funkčních hodnot zobrazení cons, car a cdr.

Mezní podmínky v rekurzivních definicích length a append2 opět nelze vynechat, protože takové definici by nebyly kompletní. Všimněte si, že analogicky jako v případě rekurze a indukce přes čísla, jde princip strukturální rekurze směrem „zpět“, protože funkční hodnoty definovaných funkcí jsou vyjádřeny pomocí funkčních hodnot pro strukturálně jednodušší seznamy. Naopak, princip indukce postupuje od strukturálně nejjednoduššího seznamu – prázdného seznamu, směrem „dopředu“, to jest ke složitějším seznamům.

Úkolem této sekce bylo představit principy rekurze a indukce přes čísla a přes seznamy. Ukázali jsme, že rekurzí lze definovat důležitá zobrazení. S programováním to souvisí tak, že analogický princip, jako jsme použili při definování zobrazení, můžeme použít při vytváření procedur, které tato zobrazení reprezentují.

Takovým procedurám budeme říkal rekurzivní procedury a blíže se jim budeme věnovat v dalších sekcích. Princip indukce je pro nás důležitým dokazovacím principem, kterým můžeme dokazovat vlastnosti rekurzivně definovaných zobrazení (a procedur, které je reprezentují).

Abychom ještě na závěr sekce demonstrovali sílu definic rekurzí, ukážeme rekurzivní definici zobrazení korespondujícím s procedurou foldr představenou v předchozí lekci. Vzpomeňme, že pomocí foldr jsme byli schopni vytvořit řadu procedur počínaje length, append4, přes filtrační proceduru filter a tak dále.

Doposud jsme ale neřekli, zda-li je možné proceduru foldr v jazyky Scheme uživatelsky definovat, nebo jestli musí být přítomna v jazyku jako primitivní procedura.

str198 Odpověďje, že procedura je definovatelná plně prostředky jazyka, které již máme k dispozici. Definicí procedury se teď zabývat nebudeme, tu ukážeme v dalších částech textu, ale ukážeme rekurzivní definici zobrazení foldr, které je reprezentované procedurou foldr. Zobrazení foldr lze chápat jako zobrazení

foldr : F × E × L → E,

()

kde F je množina všech zobrazení f : E × E → E. Nyní můžeme definovat: t pokud l je prázdný seznam,

foldr(f, t, l) = f (car(l), foldr(f, t, cdr(l))) jinak.

Strukturální indukcí se můžete přesvědčit, že definice je jednoznačná, a že pro seznam l délky n bude funkční hodnota foldr(f, t, l) získána pomocí „postupného zabalení“ funkcí f tak, jak jsme popsali v předchozí lekci.

Snadno potom můžeme vidět, že length a append2 můžeme definovat pomocí foldr jako length(l) = foldr(g, 0, l), kde g(x, y) = 1 + y,

append2(l, k) = foldr(cons, k, l).

Všimněte si korespondence předchozích zavedení length a append2 s definicemi procedur length a append2 v programech 7.1 a 7.2 na stranách 174 a 175. Tyto ukázky by nám měly dát jakousi představu o tom, že strukturální rekurze je skutečně silným nástrojem (který je potřeba umět správně používat).

Rekurze a indukce nejsou jen nějaké „matematické kuriozity v programování “, jedná se o široce využívané principy bez nichž by byla naše schopnost řešit problémy výrazně snížena. Některé typy úloh lze bez rekurze řešit jen velmi obtížně. Ve funkcionálních jazycích je tradičně rekurze vedle procedur vyšších řádů jednou z nejpoužívanějších metod vytváření procedur (a v důsledku výpočetních procesů).

Ve funkcionálních jazycích rekurze de facto nahrazuje cykly, které se používají hlavně v procedurálních jazycích. Rekurze je však na rozdíl od prostých cyklů mnohem mocnější, jak záhy uvidíme.

V této sekci jsme ukázali řadu důkazů správnosti definic a vlastností definovaných zobrazení. Budeme v tom pokračovat v omezené míře i v dalších sekcích. V praxi zpravidla není potřeba dokazovat správnost tímto detailním způsobem, protože zkušený programátor má již některé typické konstrukce tak říkajíc „v oku“ a jejich správnost je schopen velmi rychle „vidět“. Zdůrazněme však, že tento nadhled přichází až s určitou programátorskou zkušeností, jejíž nabytí chvíli trvá. Ani potom bychom však formální aparát, který jsme představili v této sekci, neměli považovat za „cosi zbytečného“, ale spíš za užitečnou pomůcku.

s_2

V této sekci se budeme zabývat rekurzí přes přirozená čísla (ke kterým z technických důvodů přidáváme i nulu). Ukážeme, jak souvisí rekurzivní definice zobrazení, které jsme představili v předchozí sekci, s procedurami, které tato zobrazení reprezentují. Jako první příklad budeme uvažovat rekurzivní definici n-té mocniny čísla. Pro jednoduchost budeme uvažovat pouze případy, kdy n nabývá celočíselné nezáporné hodnoty. V tomto případě můžeme pro libovolné x ∈ R definovat xn následujícím předpisem: 1

pokud n = 0,

xn = x · xn−1 jinak.

Předchozí předpis říká, že x0 = 1 a pokud je n ≥ 1, pak je xn = x·xn−1. Principem prezentovaným ve větě 8.2 bychom opět mohli snadno dokázat platnost vlastností „pro n je hodnota xn jednoznačně definovaná“ a navíc je zřejmé, že se jednáskutečně o n-tou mocninu x. Upozorněme na fakt, že předchozí rekurzivní definice definuje pro x = 0 hodnotu x0 = 1, což je v rozporu s matematickým chápáním nutné mocniny (z matematického pohledu není hodnota 00 definovaná). Z praktického (programátorského) pohledu je však vhodné zavést 00 jako 1.

Proceduru expt počítající hodnoty xn podle výše uvedeného rekurzivního předpisu bychom v jazyku Scheme mohli naprogramovat tak, jak je to uvedeno v programu 9.1. Procedura expt v programu 8.1 je formalizací předchozího rekurzivního předpisu v jazyku Scheme. V těle procedury je pomocí speciální formy if vyjádřen podmíněný výraz: „Pokud je n rovno nule, pak je výsledek umocnění jedna. V opačném případě je výsledek umocnění roven součinu hodnoty x s hodnotou x umocněnou na n − 1.“

str199 5;Program 8.1 Rekurzivní procedura počítající xn.

(define expt
  (lambda (x n)
    (if (= n 0)
      1
      (* x (expt x (- n 1))))))

Definice 8.10 (rekurzivní procedura, rekurzivní aplikace). Proceduře budeme říkat rekurzivní procedura, pokud při vyhodnocení jejího těla dochází (v některých případech) k aplikaci sebe sama. Aplikaci „sebe sama“ budeme dále nazývat rekurzivní aplikace procedury.

Procedura expt je tedy prvním příkladem rekurzivní procedury, protože v posledním argumentu předaném speciální formě if, který je vyhodnocen v případě, že podmínka (první argument předanýif) bude nepravdivá, dojde k aplikaci expt. Jak již ale bylo řečeno, rekurzivní procedury jsou procedury v klasickém smyslu tak, jak jsme je popsali v úvodních lekcích tohoto textu (není tedy na nich nic „speciálního“).

Poznámka 8.11. Otázkou, kterou bychom se měli zabývat je, proč vlastně aplikace rekurzivních procedur „funguje“. Jinými slovy, je z pohledu vyhodnocovacího procesu skutečně v pořádku, že procedura aplikuje sebe sama? Podíváme-li se na kód procedury expt v programu 9.1, pak je zřejmé, že procedura vzniklá vyhodnocením λ-výrazu vznikla v globálním prostředí. V tomto prostředí je i provedena vazba této procedury na symbol expt. Při aplikaci procedury expt je vytvořeno lokální prostředí, jehož předkem je prostředí vzniku procedury, tedy globální prostředí. V lokálním prostředí jsou při aplikaci procedury definovány vazby symbolů x a n. Pokud při vyhodnocování těla během aplikaci dojde k vyhodnocení symbolu expt, pak tento symbol nenínalezen v lokálním prostředí. Hledáním vazby se proto postupuje v nadřazeném prostředí, což je globální prostředí – v něm má symbol expt vazbu a tou je právě aplikovaná procedura.

Procedura vzniklá vyhodnocením λ-výrazu v programu 8.1 má tedy skutečně k dispozici „sebe sama“ prostřednictvím vazby symbolu expt.

Na rekurzivní proceduře expt si můžeme všimnout dvou částí: limitní podmínka rekurze je podmínka, po jejímž splnění je vyhodnocen výraz jež nezpůsobí další aplikaci samotné rekurzivní procedury. Na limitní podmínku rekurze se lze dívat jako na podmínku vymezující triviální případy aplikace procedury, v jejichž případě není potřeba pro stanovení výsledku aplikace provádět rekurzivní aplikaci. V případě procedury expt je limitní podmínkou rekurze fakt, že n je rovno nule, v tomto případe je výsledek vyhodnoceníčíslo 1, což koresponduje s faktem x0 = 1. Každá rekurzivní procedura by měla mít alespoň jednu limitní podmínku, obecně jich může mít i víc.

předpis rekurze je část těla procedury, při jejímž vyhodnocení dochází k rekurzivní aplikaci procedury. Součástí předpisu rekurze je vyjádření, jak bude stanoven výsledek aplikace rekurzivní procedury s jistými argumenty pomocí rekurzivní aplikace této procedury s jinými argumenty (obvykle s argumenty, které jsou ve smyslu konkrétního použití procedury „jednodušší “). V případě procedury expt je rekurzivní předpis (* x (expt x (- n 1))), což koresponduje s faktem, že xn = x · xn−1 pro n ≥ 1. Rekurzivních předpisů může být v proceduře opět víc, ale z principu by měl být aspoň jeden, abychom se mohli „o rekurzi vůbec bavit“.

Limitní podmínku i předpis rekurze lze snadno vyčíst přímo z rekurzivní definice xn tak, jak jsme ji uvedli na začátku sekce. Při vytváření rekurzivních procedur je vždy potřeba si limitní podmínky a předpisy rekurze jasně uvědomit a správně formalizovat (v programu). Absence některéz důležitých částí v rekurzivní proceduře, třeba absence limitní podmínky, obvykle vede na nekončícísérií aplikacínebo na vznik chyby.

Nyní si uvedeme příklad aplikace procedury expt s číselnými argumenty 8 a 4 (v tomto pořadí). Aplikace procedury s těmito argumenty je znázorněna na obrázku 8. (vlevo). Nejprve si všimněte metody, kterou jsme při znázornění zvolili. Každou novou aplikaci procedury jsme vyjádřili tak, že do těla výrazu jsme str202

Obrázek 8.2. Schématické zachycení aplikace procedury expt.

(expt 8 4) ;vyvolání 1. aplikace procedury 
(* 8 (expt 8 3)) ;navíjení: vyvolání 2. aplikace 
(* 8 (* 8 (expt 8 2))) ;navíjení: vyvolání 3. aplikace 
(* 8 (* 8 (* 8 (expt 8 1)))) ;navíjení: vyvolání 4. aplikace 
(* 8 (* 8 (* 8 (* 8 (expt 8 0))))) ;navíjení: vyvolání 5. aplikace 
(* 8 (* 8 (* 8 (* 8 1)))) ;dosažení limitní podmínky v průběhu 5. aplikace 
(* 8 (* 8 (* 8 8))) ;stav po odvinutí 4. aplikace 
(* 8 (* 8 64)) stav po odvinutí 3. aplikace 
(* 8 512) ;stav po odvinutí 2. aplikace 
4096 ;výsledná hodnota vzniklá odvinutím 1. aplikace

místo seznamu, jehož vyhodnocení aplikaci způsobilo, zapsali tělo aplikované procedury, v němž jsme zaměnili formální argumenty za hodnoty předaných argumentů. V prvním kroku jsme tedy výraz (expt 8 4) nahradili výrazem (* 8 (expt 8 3)), v dalším kroku jsme výraz (expt 8 3) v (* 8 (expt 8 3)) nahradili výrazem (* 8 (expt 8 2)) čímž vznikl výraz (* 8 (* 8 (expt 8 2))) a tak dále. Jak je z obrázku patrné, při výpočtu je v první fází prováděna rekurzivní aplikace, protože pro hodnoty 4, … , 1 navázanéna symbolu n se neuplatňuje limitní podmínka rekurze. Této fázi výpočtu, při které dochází k postupné aplikaci rekurzivního předpisu, se říká „navíjení“. Navíjení je ukončeno dosažením limitní podmínky, viz obrázek 9.2 (vpravo). V našem případě to je když je na n navázaná hodnota 0. Od tohoto okamžiku se již procedura expt neaplikuje, ale dochází ke „zpětnému dosazování“ vypočtených hodnot a dokončování jednotlivých aplikací expt, které byly zahájeny během fáze navíjení. Této druhé fázi říkáme příznačně fáze „odvíjení“. Výsledná hodnota vznikaódvinutím první aplikace expt (první aplikace je pochopitelně odvinuta jako poslední, protože se ve fázi odvíjení pohybujeme zpětně).

Při aplikaci expt s argumenty 8 a 4 došlo de facto k pěti aplikacím této procedury (všechny proběhly ve fází navíjení). Při těchto aplikacích vzniklo tím pádem pět prostředí. Otázkou by možná mohlo být, jestli to není nějaký „nadbytečný luxus“. V žádném případě tomu tak není. Během fáze navíjení je, neformálně řečeno, budována série odložených výpočtů. Výsledek (expt 8 4) je definován jako součin čísla 8 s hodnotou vzniknou aplikací (expt 8 3). Tento součin však nemůže být dokončen dřív, než je dokončena aplikace expt s argumenty 8 a 3. Do té doby musí být někde uloženy hodnoty, které je potřeba mít k dispozici pro dokončení výpočtu, až bude výsledek vyhodnocení (expt 8 3) znám. Tímto úložištěm jsou právě prostředí. Na obrázku 8.3 jsou zachycena prostředí vzniklá při vyhodnocení (expt 8 4), předkem všech těchto prostředí je globální prostředí, v němž je na symbol expt navázána rekurzivně aplikovaná procedura.

Jak jsme již na příkladu vysvětlili, průběh výpočetního procesu generovaného aplikací rekurzivní procedury můžeme shrnout do dvou důležitých fází:

fáze navíjení je fáze, ve které dochází k postupné rekurzivní aplikaci. V průběhu této fáze jsou vytvářena nová prostředí v nichž jsou uloženy informace o vazbách formálních argumentů rekurzivně aplikované procedury. Tato prostředí v sobě udržují informaci o pomyslném odloženém výpočtu (anglicky deferred computation). Fáze navíjení končí dosažením limitní podmínky rekurze, v jejímž případě je vrácena hodnota vzniklá bez dalších rekurzivních aplikací procedury.

fáze odvíjení nastává po dosažení limitní podmínky rekurze. Během této fáze dochází k dokončení vyhodnocení těla procedury v prostředích, která vznikla v předchozí fázi navíjení. Postupuje se přitom zpětně, jako první je dokončeno vyhodnocení těla v prostředí poslední aplikace procedury, následuje vyhodnocení těla v prostředí předposlední aplikace procedury a tak se postupuje až k vyhodnocení těla v prostředí první aplikace procedury a výsledná hodnota je výsledkem původní aplikace. Během fáze odvíjení může v některých případech znovu nastat fáze navíjení (uvidíme až na dalších příkladech).

str201 Obrázek 8.3. Prostředí vzniklá během vyhodnocení (expt 8 4) Rekurzivní procedury jsou procedury, které ve svém těle vyvolávají aplikaci sebe sama. Každá rekurzivní procedura másvou limitní podmínku a předpis rekurze. Aplikaci rekurzivní procedury si můžeme představit jako proces probíhající ve dvou základních fázích, které se mohou vzájemně střídat: fáze na-víjení a fáze odvíjení. Na rozdíl od jazyka Scheme, některé funkcionální jazyky disponují tak zvaným líným vyhodnocováním. Jde o princip vyhodnocování výrazů, který mimo jiné umožňuje definovat rekurzivní procedury bez limitní podmínky, při jejichž aplikaci výpočetní proces neuvízne v sérii nekončících aplikací (právě díky línému vyhodnocování). Jazyk Scheme není líný, a každá rekurzivní procedura by tedy limitní podmínku mít měla (pokud nechceme záměrně výpočetní proces „vytuhnout“). V další části učebního textu však ukážeme, že líné vyhodnocování můžeme ve Scheme implementovat, takže předchozí tvrzení tak úplně neplatí.

V tuto chvíli by nám mělo být jasné, jak vypadají rekurzivní procedury, jak je psát, a také „proč vlastně fungují“. Nyní si ukážeme několik dalších rekurzivních procedur pracujících s čísly. Jako prvníse zamyslíme nad zefektivněním stávající procedury expt. Procedura expt uvedená v programu 8.1 je naprogramována tak, že při své aplikaci redukuje problém nalezení xn na problém nalezení xn−1. Je tedy jasné, že pro výpočet xn vznikne n + 1 prostředí, protože limitní podmínka je dána pro n = 0. Časová složitost výpočtu xn (touto procedurou) je tedy O(n), hodnota x nehraje (teoreticky) roli16. Vzhledem k tomu, že při výpočtu vznikne n + 1 nových prostředí, můžeme říct, že prostorová složitost výpočtu xn (touto procedurou) je také O(n) (počet prostředí roste lineárně s n). Otázkou je, zda-li bychom proceduru nemohli naprogramovat efektivněji (z hlediska časového, prostorového nebo z hlediska obou složitostí).

Při navrhování rekurzivních procedur se často uplatňuje princip, který je v informatice označován jako divide et impera neboli „rozděl a panuj“. Tento princip spočívá v tom, že řešení problému je rozloženo na řešení (obecně několika) podproblémů stejného typu, ale výrazně menšísložitosti. Rozložení problému na menší podproblémy se v programátorské terminologii nazývá dekompozice. Až jsou tyto podproblémy vyřešeny, je z jejich řešení (v rozumném čase) složeno řešení výchozího problému. Tento způsob nahlíženína řešení problémů vede většinou na vytváření rekurzivních procedur. Příklady použití principu divide et impera uvidíme v dalších sekcích. Už při výpočtu xn si ale ukážeme, že při dekompozici problému můžeme postupovat výrazně efektivněji než v programu 8.1.

17Samozřejmě, že prakticky hraje roli i hodnota x, protože mocnění velkých celých čísel v jejich přesné reprezentaci bude jistě náročnějšínež mocnění malých čísel. Tento technický rys však můžeme nyní při stanovování rámcové složitosti přehlédnout, protože při ní jde o to stanovit složitost vzhledem k počtu aplikací násobení. Samotnou délku násobeníchápeme zjednodušeně jako konstantní.

str202 Výpočet xn bychom mohli urychlit tím, že si uvědomíme, že x2n = xn · xn = (xn)2. To jest, pokud je exponent sudéčíslo, můžeme problém výpočtu mocniny redukovat na problém výpočtu mocniny s polovičním exponentem. Intuitivně lze asi vycítit, že to je výrazný posun oproti pouhému zmenšení exponentu o jedna, jak tomu bylo doposud. Hodnotu xn (pro n nezáporné celé číslo) bychom tedy mohli definovat takto:

 1 pokud n = 0,

 n xn = (x 2 )2 pokud je n sudé,

 x · xn−1 pokud je n liché.

Výše uvedený předpis povede na rekurzivní proceduru s jednou limitní podmínkou a se dvěma separátními předpisy rekurze – jeden pro případ, kdy je exponent sudýa jeden pro případ, kdy je exponent lichý. Před uvedením samotné rekurzivní procedury si však dokažme, že naše úprava algoritmu je korektní a vede ke správným výsledkům. Na základě původní rekurzivní definice xn můžeme indukcí prokázat následující tvrzení.

Věta 8.12. Pro libovolné x ∈ R a nezáporná celá čísla m, n platí, že xm+n = xm · xn.

Důkaz. Principem indukce prokážeme platnost vlastnosti P (i): „Pro každá dvě nezápornáceláčísla m, n taková, že m + n = i, platí xm+n = xm · xn“. Pro i = 2 máme pouze m = 0 a n = 0. Navíc zřejmě v tomto případě xm+n = x0+0 = x0 = 1 = 1 · 1 = x0 · x0 = xm · xn, takže bod (i) platí. Nyní prokážeme platnost bodu (ii). Předpokládejme, že P platí pro i. Máme ukázat, že P platí pro i + 1, to jest máme ukázat, že pro každá dvě nezápornáceláčísla m, n taková, že m + n = i + 1, platí xm+n = xm · xn. Z rekurzivní definice xn dostáváme, že xm+n = x · xm+n−1. Jelikož m + n = i + 1, pak musí být aspoň jedno z čísel m a n přirozené.

Předpokládejme, že je to n (případ pro m by se odvodil duálně). Tím pádem n − 1 je celé nezáporné číslo.

Máme tedy dvě čísla, m a n − 1, která jsou celaá nezápornaá platí pro ně m + n − 1 = i. Nyní můžeme aplikovat indukční předpoklad na m a n − 1, to jest dostáváme xm+n−1 = xm · xn−1. S pomocí poslední rovnosti tedy vyjádříme xm+n takto:

xm+n = x · xm+n−1 = x · xm · xn−1 = xm · x · xn−1 = xm · xn.

Poslední rovnost opět plyne z rekurzivní definice xn. Dohromady jsme tedy prokázali platnost bodu (ii) pro vlastnost P . Užitím principu indukce z věty 8.2 jsme prokázali větu 8.12.

Nyní je zřejmé, že i upravená rekurzivní definice xn je korektní, protože dvě věty 8.12 máme n

n

n

n

(x

+ n

2 )2 = x 2 · x 2 = x 2

2 = xn

a mohli bychom použít tento fakt při důkazu indukcí. Při prokázání bychom však museli u bodu (ii) věty 8.2 rozlišit víc případů (pro n sudé a n liché). Důkaz ponecháme na laskavém čtenáři. Procedura, která počítá hodnotu xn podle výše uvedeného upraveného vztahu je zobrazena v programu 8.2.

5;Program 8.2 Rychlá rekurzivní procedura počítající xn.

(define na2
  (lambda (x) (* x x)))
 
(define expt
  (lambda (x n)
    (cond ((= n 0) 1)
          ((even? n) (na2 (expt x (/ n 2))))
          (else (* x (expt x (- n 1)))))))

Jelikož jsme v programu potřebovali odlišit dva různé předpisy rekurze, vyplatilo se nám použít speciální formu cond místo dvou vnořenýchh speciálním forem if. Jak jsme na tom se složitostínové verze expt? Nejprve si uveďme příklad její aplikaci s argumenty 2 a 25. Aplikace je schématicky zachycena na obrázku 8.4.

Z příkladu je vidět, že vypočtení hodnoty mocniny pro exponent rovný 25 bylo potřeba provést pouze osm rekurzivních aplikací procedury expt. Při použití původní verze by jich bylo potřeba rovných dvacet šest.

str203 Obrázek 8.4. Schématické zachycení aplikace rychlé procedury expt.

(expt 2 25) ;vyvolání 1. aplikace procedury
(* 2 (expt 2 24)) ;navíjení: vyvolání 2. aplikace
(* 2 (na2 (expt 2 12))) ;navíjení: vyvolání 3. aplikace
(* 2 (na2 (na2 (expt 2 6)))) ;navíjení: vyvolání 4. aplikace
(* 2 (na2 (na2 (na2 (expt 2 3))))) ;navíjení: vyvolání 5. aplikace
(* 2 (na2 (na2 (na2 (* 2 (expt 2 2)))))) ;navíjení: vyvolání 6. aplikace
(* 2 (na2 (na2 (na2 (* 2 (na2 (expt 2 1))))))) ;navíjení: vyvolání 7. aplikace
(* 2 (na2 (na2 (na2 (* 2 (na2 (* 2 (expt 2 0)))))))) ;navíjení: vyvolání 8. aplikace
(* 2 (na2 (na2 (na2 (* 2 (na2 (* 2 1))))))) ;dosažení limitní podmínky
(* 2 (na2 (na2 (na2 (* 2 (na2 2)))))) ;stav po odvinutí 7. aplikace
(* 2 (na2 (na2 (na2 (* 2 4))))) ;stav po odvinutí 6. aplikace
(* 2 (na2 (na2 (na2 8)))) ;stav po odvinutí 5. aplikace
(* 2 (na2 (na2 64))) ;stav po odvinutí 4. aplikace
(* 2 (na2 4096)) ;stav po odvinutí 3. aplikace
(* 2 16777216) ;stav po odvinutí 2. aplikace
33554432 ;výsledná hodnota vzniklaódvinutím 1. aplikace

Jak můžeme stanovit složitost nové verze procedury expt? Zamysleme se nyní nad ideálním případem, kdy při výpočtu xn je použit pouze rekurzivní předpis pracující se sudým exponentem až na jediný případ a to pro n = 1. V tomto případě je při první, druhé, třetí, … aplikaci vypočtena hodnota x0, x1, x2, x4, x8, x16, x32, … Obecně řečeno, při k-té aplikaci (k ≥ 2) je vypočtena hodnota x2k−2. Odpověď na otázku, při kolikáté aplikaci je vypočtena hodnota xn tedy vede na řešení rovnice: xn = x2k−2 , jelikož je v našem případě x parametr (zde se dopouštíme mírného zjednodušení), stačí vyřešit n = 2k−2, což je po zlogaritmování rovno

log n = (k − 2) · log 2,

z čehož vyjádříme k následovně:

log n

k = 2 +

= 2 + log

log 2

2 n.

Počet kroků po výpočet xn je tedy v případě jediného použití rekurzivního předpisu pracujícího s lichým exponentem 2 + log2 n. Jak se počet kroků promítne v případě, kdy dojde k užití více jak jednoho rekurzivního předpisu pro lichýexponent? Uvědomme si nejprve, kolik nejvýš může těchto „patologických situací “ nastat. Při aplikaci rekurzivního předpisu pro lichýexponent je výpočet xn redukován na výpočet xn−1. V tom případě je ale n − 1 sudéčíslo, takže nikdy nemohou nastat dvě aplikace tohoto rekurzivního předpisu po sobě. To znamená, že v nejhorším případě bude počet kroků nutných k vypočtení xn dvojnásobkem našeho odhadu 2 + log2 n (aplikace obou rekurzivních předpisů pro lichý a sudý exponent se budou vzájemně střídat). Dostáváme tím tedy, že počet prostředí, která vznikají během aplikace nové verze procedury expt roste logaritmicky (při základu 2) vzhledem k n. Snadno již můžeme vidět, že časová i prostorová složitost jsou shodně O(log2 n), což je výrazně lepší výsledek než původní O(n), který se projeví zvlášť pro velká n.

Při programování „rychlé verze expt“ bychom si však měli dát pozor na efektivní formalizaci rekurzivního vztahu. Kdybychom místo kódu v programu 8.2 použili následující kód

(define expt
  (lambda (x n)
    (cond ((= n 0) 1)
          ((even? n) (* (expt x (/ n 2)) (expt x (/ n 2))))
          (else (* x (expt x (- n 1)))))))

str204 pak by v rekurzivním předpisu pro sudé n docházelo k výpočtu hodnoty x 2 dvakrát. Zbytečně by tedy docházelo k rekurzivní aplikaci. Ve skutečnosti bychom tedy proceduru nijak neurychlili, ale drasticky bychom jí zpomalili. V programu 8.2 byla hodnota x 2 počítána pouze jednou a její druhá mocnina byla vypočítána procedurou na2. V předchozím kódu však dochází v předpisu rekurze pro sudou větev ke dvěma rekurzivním aplikacím. To jest s každou aplikací původní rychlé procedury se počet aplikací v nové verzi zdvojnásobí. Mohli bychom tedy prové st hrubyódhad počtu aplikací pro výpočet xn v případě, že je použit rekurzivní předpis pro lichán pouze jednou, jako 21+log2 n (hodnota 1 v exponentu reprezentuje jediné použití rekurzivního předpisu pro n liché, použití pro n = 0 jsme pro jednoduchost ignorovali), což je větší hodnota něž 2log2 n = n. Procedura provádějící dvě rekurzivní aplikace ve svém těle by tedy ve skutečnosti byla dokonce pomalejší než výchozí procedura expt v programu 8.1 (se zvyšujícím se n by bylo zpomalení stále více cítit, například pro n = 4096 je potřeba pro výpočet celkem 12288 kroků – v této hodnotě jsou započítány i všechny aplikace pro n = 0).

Předchozí problém bychom bez použitína2 mohli vyřešit třeba tak, že hodnotu x 2 vypočteme pouze jednou, navážeme ji v lokálním prostředína nějaký symbol a poté ji použijeme dvakrát při výpočtu součinu.

Technicky se ale vlastně jednaó stejné řešení jako při použití uživatelsky definované procedury na2 (v obou případech vznikánové prostředí). Upravený kód by tedy vypadal následovně:

(define expt
  (lambda (x n)
    (cond ((= n 0) 1)
          ((even? n) (let ((result (expt x (/ n 2))))
                       (* result result)))
          (else (* x (expt x (- n 1)))))))

Z hlediska řádové složitosti bychom program výrazně neurychlili, kdybychom přidali další dvě limitní podmínky řešící případy mocnění jedničkou a dvojkou:

(define expt
  (lambda (x n)
    (cond ((= n 0) 1)
          ((= n 1) x)
          ((= n 2) (na2 x))
          ((even? n) (na2 (expt x (/ n 2))))
          (else (* x (expt x (- n 1)))))))

Předchozí kód by z technického hlediska možná vedl i ke zpomalení výpočtu, protože při každé rekurzivní aplikaci procedury je testováno větší množství podmínek.

Někoho by možná mohlo napadnout udělat další urychlení algoritmu na bází vyřešení případu pro exponent ve tvaru 3n. Dle věty 8.12 totiž víme, že x3n = xn+n+n = xn ·xn ·xn. Nabízelo by se tedy naprogramovat proceduru na3 počítající třetí mocninu a upravit program 8.2 následovně:

(define expt
  (lambda (x n)
    (cond ((= n 0) 1)
          ((= n 1) x)
          ((= n 2) (na2 x))
          ((= (modulo n 3) 0) (na3 (expt x (/ n 3))))
          ((even? n) (na2 (expt x (/ n 2))))
          (else (* x (expt x (- n 1)))))))

Přidaná větev říká, že pokud je exponent dělitelný třemi beze zbytku, pak redukujeme problém výpočtu n hodnoty xn na problém výpočtu hodnoty (x 3 )3. Analogicky bychom mohli postupovat pro další přirozenáčísla 4, 5, … Z hlediska efektivity jak teoretické tak praktické to však již téměř nic nepřináší. V odborných kruzích panuje názor, že „vylepšování“ programů tímto způsobem „nestojíza to.“ Uveďme si důvod proč.

str205 Předně, po zařazení nové větve do programu by počet kroků nutných k výpočtu xn nerostl logaritmicky při základu dvě, ale logaritmicky při základu tři (toto je hodně optimistický odhad, což nám ale nyní nevadí, protože chceme prokázat, že složitost se výrazně nezlepší). Co to ale znamená? Z vlastností logaritmů víme: log 1 log

2 n

·

3 n =

=

log

log

2 n ≈ 0.6309 log2 n.

2 3

log2 3

Což jinými slovy znamená, že z hlediska asymptotické složitosti platí O(log3 n) = O(log2 n), protože log3 n se od log2 n liší pouze o multiplikativní konstantu (přibližně) 0.6309. Z tohoto důvodu běžně značíme třídu složitosti bez uvedení základu logaritmu O(log n), protože tato třída je ekvivalentní všem O(logk n), kde k ∈ (1, ∞). Řádově má předchozí vylepšení programu stejnou složitost jako původní verze v programu 8.2.

Ani z čistě praktického hlediska není vhodné takové rozšíření programu dělat, protože čas, který je ušetřený přidanou větví je z velkéčásti zkonzumován testováním většího počtu složitějších podmínek.

Na závěr této sekce si uveďme procedury fac a fib pro výpočet faktoriálu a Fibonacciho čísel naprogramované pomocí rekurzivních vztahů uvedených v sekci 8.1 na začátku této lekce. Procedury jsou napsány v programech 8.3 a 8.4. Na první pohled je vidět, že rekurzivní procedury fac a fib jsou výrazně čitelnější

5;Program 8.3 Rekurzivní výpočet faktoriálu.

(define fac
  (lambda (n)
    (if (<= n 1)
      1
      (* n (fac (- n 1))))))

5;Program 8.4 Rekurzivní výpočet prvků Fibonacciho posloupnosti.

(define fib
  (lambda (n)
    (if (<= n 1)
      n
      (+ (fib (- n 1))
         (fib (- n 2))))))

než procedury uvedené v programech 7.12 a 7.13 vytvořených pomocí foldr. Z hlediska výpočtové složitosti by někoho z nás možná mohlo překvapit, že zatímco procedura fib z programu 7.13 na straně 187 vrací výsledky „okamžitě“ i pro větší vstupní hodnoty (třeba pro n = 1000), rekurzivní procedura 8.4 při hodnotě n = 1000 „nemá odezvu“. Tento jev bychom si nyní neměli ukvapeně vykládat, jako že rekurzivní procedury „nejsou efektivní“ (velmi efektivní proceduru jsme konec konců viděli už v programu 8.2 na straně 203), spíš bychom si jej měli vyložit jako důležitou motivaci pro studium vlastností výpočetních procesů generovaných rekurzivními procedurami. Touto problematikou se budeme věnovat v další sekci.

s8_3

V této sekci se budeme zabývat výpočetními procesy generovanými rekurzivními procedurami. Z kvalitativního hlediska mohou totiž rekurzivní procedury generovat výpočetní procesy s různou výpočetnínáročností. Vše si budeme postupně demonstrovat na příkladech. Začneme příklady s rekurzivními verzemi procedur fac a fib, které jsme ukázali v programech 8.3 a 8.4.

Uvažujme nyní rekurzivní verzi procedury fac na výpočet faktoriálu. Pokud tuto proceduru aplikujeme s argumentem 5, pak bude mít výpočetní proces generovaný touto rekurzivní procedurou průběh, který je zakreslený v obrázku 8.5. Výpočetní proces probíhaánalogicky jako u původní verze procedury expt,

str206 Obrázek 8.5. Schématickézachycení aplikace rekurzivní verze fac.

(fac 5) ;navíjení: vyvolání 1. aplikace
(* 5 (fac 4)) ;navíjení: vyvolání 2. aplikace
(* 5 (* 4 (fac 3))) ;navíjení: vyvolání 3. aplikace
(* 5 (* 4 (* 3 (fac 2)))) ;navíjení: vyvolání 4. aplikace
(* 5 (* 4 (* 3 (* 2 (fac 1))))) ;navíjení: vyvolání 5. aplikace
(* 5 (* 4 (* 3 (* 2 1)))) ;dosažení limitní podmínky
(* 5 (* 4 (* 3 2))) ;stav po odvinutí 4. aplikace
(* 5 (* 4 6)) ;stav po odvinutí 3. aplikace
(* 5 24) ;stav po odvinutí 2. aplikace
120 ;výsledná hodnota vzniklaódvinutím 1. aplikace

kterou jsme představili v programu 8.1, srovnejte s obrázkem 8.2. Rekurzivní procedura pro výpočet faktoriálu mázřejmě liné arníčasovou složitost, protože n! je vypočítána v n krocích. Prostorová složitost je rovněž lineární, protože s každou novou aplikací této procedury vznikne nové prostředí. Počet vzniklých prostředí během aplikace procedury je tedy lineárně závislýna n a žádné další prostorové nároky procedura nemá. Časová i prostorovásložitost výpočetního procesu generovaného rekurzivní verzí fac jsou tedy ve třídě O(n).

Předchozí řešení výpočtu faktoriálu je založeno na vyjádřenín! pomocín · (n − 1)!. Hodnotu faktoriálu bychom ale mohli vyjádřit i jiným rekurzivním předpisem. Konkrétně můžeme rekurzivně zavést zobrazení \(f : N0 × N → N\) tak, že f (n, k) bude mít hodnotu faktoriálu n násobenou hodnotou k. Na první pohled se toto zobrazení může jevit jako „nějaká komplikace“ výchozí definice faktoriálu, ale jak dál uvidíme, pro výpočet faktoriálu bude mnohem efektivnější. Uvažujme tedy předpis definující toto zobrazení: k pokud n ≤ 1,

f (n, k) = f (n − 1, k · n) jinak.

Předpis je opět rekurzivní a opět bychom o něm mohli prokázat, že je jednoznačný (bude plynout z následujícího tvrzení, takže to nyní prokazovat nebudeme). Na rozdíl od všech ostatních předpisů je rekurzivní předpis f zajímavý tím, že na druhém řádku je hodnota f (n, k) vyjádřena pouze pomocí funkční hodnoty f (· · ·) (bez provádění dalších operací, které by byly zapsány „vně výrazu f (· · ·)“). To výrazně zjednodušuje možnost funkční hodnotu takto definovaného zobrazení počítat. Uveďme si nyní několik funkčních hodnot f (n, 1) pro n = 0, 1, 2, … :

f (0, 1) = 1,

f (1, 1) = 1,

f (2, 1) = f (1, 2) = 2,

f (3, 1) = f (2, 3) = f (1, 6) = 6,

f (4, 1) = f (3, 4) = f (2, 12) = f (1, 24) = 24,

f (5, 1) = f (4, 5) = f (3, 20) = f (2, 60) = f (1, 120) = 120,

…

Z předchozích příkladů by měla být jasná intuice skrytáza definicí f . První argument slouží jako jakýsi „čítač“, který jde postupně směrem dolů až dojde k jedničce. Přitom se v druhém argumentu postupně „akumulují “ hodnoty násobků všech hodnot čítače. Tedy násobků k ·n·(n−1)·(n−2) · · · 2 = n!, akumulace přitom začíná hodnotou k. V předchozích ukázkách tedy k = 1. Toto neformální tvrzenínyní zpřesníme následující větou.

Věta 8.13. Pro každén ∈ N0, k ∈ N, c ∈ R a f : N0 × N → N zavedené předchozím rekurzivním předpisem platí: (i) c · f (n, k) = f (n, c · k),

(ii) f (n, k) = k · n!,

(iii) f (n, 1) = n!.

str207 Důkaz. (i): Tvrzení prokážeme indukcí. Z pohledu věty 8.2 nám vlastně jde o prokázání vlastnosti P (n): „pro každé k ∈ N a c ∈ R platíc · f(n, k) = f(n, c · k)“. Pro n ≤ 1 máme dle definici c · f(n, k) = c · k = f(n, c · k), tedy tvrzení platí. Předpokládejme, že n má vlastnost P . Prokážeme, že i n + 1 má tuto vlastnost. Dle definičního vztahu máme \(c · f (n + 1, k) = c · f((n + 1) − 1, k · (n + 1)) = c · f(n, k · (n + 1))\). S užitím indukčního předpokladu a asociativity násobení dostáváme \(c · f (n + 1, k) = c · f (n, k · (n + 1)) = f (n, c · (k · (n + 1))) = f (n, (c · k) · (n + 1)) = f (n + 1, c · k)\), to jest vlastnost P platí pro každén. Tím jsme prokázali bod (i).

(ii): Tvrzení prokážeme indukcí a s využitím předchozího bodu. Z pohledu věty 8.2 jde teď o prokázání vlastnosti P (n): „pro každé k ∈ N platí f(n, k) = k ·n!“. Pro n ≤ 1 tvrzení evidentně platí pro každé k. Nechť tvrzení platí pro n. Prokážeme jeho platnost pro n + 1. S využitím indukčního předpokladu, rekurzivního vztahu pro n! a bodu (i) tedy máme \(k · (n + 1)! = k · ((n + 1) · n!) = (k · (n + 1)) · n! = f (n, k · (n + 1)) = f (n + 1, k)\).

To jest P platí pro každén, tím je prokázán bod (ii).

(iii) je speciálním případem (ii) pro k = 1.

Rekurzivní přepis pro f nám umožňuje naprogramovat novou verzi procedury fak. Tato procedura je napsána v programu 8.5. Přísně vzato, s rekurzivně definovaným zobrazením f koresponduje pouze

5;Program 8.5 Iterativní procedura pro výpočet faktoriálu.

(define fac-iter
  (lambda (i accum)
    (if (<= i 1)
      accum
      (fac-iter (- i 1) (* accum i)))))
 
(define fac
  (lambda (n)
    (fac-iter n 1)))

pomocná procedura fac-iter. Procedura fac pouze provede aplikaci fac-iter s druhým argumentem nastaveným na 1. Proceduru fac jsme zavedli proto, že její uživatelé by se k výpočtu faktoriálu měli stavět jako k černé skříňce. I když pro jeho výpočet potřebujeme definovat proceduru dvou argumentů, tento fakt by pro programátory používající pouze fac měl být skryt, což se nám tímto rozdělením na dvě procedury (fac a pomocnou fac-iter) podařilo. V obrázku 8.6 máme zachycen průběh výpočtu nové verze fac pro hodnotu 5. Na tomto příkladu si můžeme všimnout několika zajímavých věcí. Nejprve konstatujme, že Obrázek 8.6. Schématické zachycení aplikace iterativní verze fac.

(fac 5)
(fac-iter 5 1) ;navíjení: vyvolání 1. aplikace
(fac-iter 4 5) ;navíjení: vyvolání 2. aplikace
(fac-iter 3 20) ;navíjení: vyvolání 3. aplikace
(fac-iter 2 60) ;navíjení: vyvolání 4. aplikace
(fac-iter 1 120) ;navíjení: vyvolání 5. aplikace
120 ;dosažení limitní podmínky a vrácení hodnoty

je zřejmě vidět, že časovou složitost výpočtu jsme oproti předcházející verzi nijak nezlepšili, pro výpočet faktoriálu je i nadále potřeba prové st n součinů, což vede na časovou složitost v třídě O(n).

str208 V příkladu je ale zajímavé, že fáze odvíjení prakticky chybí. Lépe řečeno, fáze odvíjení je degenerovanána pouhé postupné vracení téže hodnoty (výsledku). To je důsledkem faktu, že rekurzivní předpis v proceduře fac-iter obsahuje pouze sebe sama s novými hodnotami. Tato aplikace není použita jako součást žádného odloženého výpočtu.

Při dosažení limitní podmínky je tedy pouze postupně vracena výsledná hodnota, se kterou se již nijak nemanipuluje.

Otázkou je, zda-li bychom předchozí pozorování o trivialitě fáze odvíjení dokázali využít při efektivnější aplikaci procedury. Víme již, že časovou stránku jsme nevylepšili. Otázkou je, jestli bychom mohli vylepšit prostorovou náročnost výpočetního procesu. I v programu 8.6 totiž dochází pro vstupní hodnotu n k n aplikacím fac-iter. Podle principu aplikace uživatelsky definovaných procedur by tedy mělo vzniknout n nových prostředí a prostorová složitost výpočetního procesu by byla opět O(n). Připomeňme, že v rekurzivní verzi fac sloužila prostředí k uchování informací o odloženém výpočtu. Jelikož fac-iter odložený výpočet nevytváří, nabízíse možnost provádět její aplikace neustále v jednom prostředí, pouze s měnícími se vazbami symbolů. Tím bychom prostorovou složitost výpočetního procesu srazili dolů na O(1) (procedura by pro libovolně velké vstupnín pracovala v konstantním prostoru – což je z programátorského hlediska „ideální složitost“). Optimalizaci aplikacíněkterých rekurzivních procedur v tomto smyslu (nevytvářenínových prostředí při každé aplikaci, ale pouze přepisování vazeb a vyhodnocování v jednom prostředí) nazýváme optimalizace na koncovou rekurzi (anglicky tail recursion optimization, často zkracováno TRO).

Interprety jazyka Scheme dělají optimalizaci na koncovou rekurzi automaticky ve všech situacích, kdy je to možné. Abychom si tuto optimalizaci blíže popsali, zavedeme si několik nových pojmů. Jedním z hlavních pojmů je tak zvaná koncová pozice (speciální pozice výrazu v těle procedury), ze které lze prové st rekurzivní aplikaci procedury bez nutnosti vytvářet nové prostředí.

Definice 8.14 (koncová pozice, koncovaáplikace, koncově rekurzivní procedura). Množina koncových pozic λ-výrazu Λ je definována následovně:

(i) poslední výraz v těle výrazu Λ je v koncové pozici výrazu Λ; (ii) je-li (if test důsledek náhradník ) v koncové pozici výrazu Λ,

pak důsledek i náhradník (pokud je přítomen) jsou v koncové pozici výrazu Λ; (iii) je-li

(cond
  (test1 důsledek1)
  (test2 důsledek2)
  ...
  (testn důsledekn)
  (else
    náhradník ))

v koncové pozici výrazu Λ, pak důsledek1 , … , důsledekn jsou v koncové pozici výrazy Λ a pokud je přítomna i else-větev, pak je i náhradník v koncové pozici Λ; (iv) je-li (and · · · výraz ) v koncové pozici výrazu Λ, pak je výraz v koncové pozici výrazu Λ; totéž platí pro speciální formu or;

(v) je-li (let (· · ·) · · · výraz ) v koncové pozici výrazu Λ, pak je výraz v koncové pozici výrazu Λ; totéž platí pro všechny ostatní varianty speciální formy let.

Koncova áplikace procedury vzniklé vyhodnocením λ-výrazu Λ je aplikace vyvolaná z koncové pozice výrazu Λ.

Rekurzivní procedura se nazývá koncově rekurzivní, pokud aplikuje sebe sama pouze z koncových pozic (λ-výrazu jehož vyhodnocením vznikla).

Ve standardu jazyka Scheme R5RS a také v jeho IEEE standardu se koncové pozice definují ještě o něco složitějším způsobem (částečně proto, že jsme ještě nepředstavili úplně všechny speciální formy jazyka Scheme). My si ale prozatím vystačíme s předchozím chápáním.

Příklad 8.15. Vrat’me se nyní k proceduře fac-iter z programy 8.5. Označme Λ výraz, jehož vyhodnocením vzniká procedura, která je potom navázána na symbol fac-iter. Jelikož je v těle výrazu Λ pouze jediný výraz, je v koncové pozici. Tento výraz je navíc ve tvaru (if · · · , podle (ii) předchozí definice tedy dostáváme, že i výrazy accum a (fac-iter (- i 1) (* accum i)) jsou v koncových pozicích Λ.

str209 Aplikace iniciovaná vyhodnocením výrazu (fac-iter (- i 1) (* accum i)) je tedy koncovaáplikace procedury fac-iter, protože byla vyvolána z koncové pozice. Jelikož v těle procedury fac-iter již na ji-ném místě aplikace fac-iter není vyvolána, procedura fac-iter je tedy koncově rekurzivní. Kdybychom si vzali například proceduru fac z programu 8.3 na straně 206, tak tato procedura aplikuje sebe sama takéna jediném místě, ale toto místo není koncová pozice. V koncové pozici se totiž nacházícelý výraz (* n (fac (- n 1))), nikoliv pouze (fac (- n 1)). Procedura fac z programu 8.3 tedy není koncově rekurzivní.

Koncově rekurzivní procedury lze ve skutečnosti rozpoznat velmi jednoduše. Rekurzivní procedura je koncově rekurzivní, pokud výsledkem každé její aplikace pouze novaáplikace sebe sama, která není součástí žádného složeného výrazu (až na konstrukce if, cond a podobně, viz definici 8.14). Tím, že koncové aplikace nejsou již v daném prostředí použity k žádnému výpočtu, může se pro provedení aplikace použít právě aktuální prostředí a není potřeba vytvářet prostředí nové.

Aplikaci uživatelsky definovaných procedur můžeme nyní rozšířit o speciální případ aplikace procedury z její koncové pozice. Postup již nebudeme popisovat formálně tak, jak jsme to udělali třeba v definici 2.12 na straně 50, ale vysvětlíme jej pouze slovně. Pokud je při aplikaci procedury (to jest během vyhodnocení jejího těla) zaznamenán pokus o opětovnou aplikaci z koncové pozice, pak není vytvářeno nové prostředí, pouze se předefinují vazby symbolů v aktuálním prostředí tak, aby odpovídaly hodnotám při nové aplikaci a v aktuálním prostředí (s upravenými vazbami symbolů) je opět vyhodnoceno tělo procedury.

Jelikož je procedura fac-iter z programu 8.5 koncově rekurzivní, pak se při výpočtu faktoriálu (pro libovolně velkén) vytvoří pouze dvě prostředí – jedno při aplikaci fac z programu 8.5 a druhé při následné aplikaci fac-iter. V tomto druhém prostředí pak již ale probíhá vyhodnocení všech aplikací fac-iter.

Jelikož se v těle fac-iter provádějí operace s konstantní prostorovou složitostí, pak je zřejmé, že prostorovásložitost tohoto výpočetního procesu je O(1).

Ačkoliv procedury fac z programů 8.3 a 8.5 můžeme chápat jako reprezentace stejného zobrazení, je mezi nimi z hlediska výpočetních procesů, které generují, výrazný rozdíl. Tento rozdíl se promítá především to prostorové složitosti obou procedur. Na dalších příkladech uvidíme řadu výpočetních procesů, které se chovají jako výpočetní procesy v případě procedur z obou programů. Proto se vedle rekurzivních procedur budeme také bavit rekurzivních výpočetních procesech, které tyto procedury generují a budeme rozlišovat jejich různé typy.

Obecně řečeno, výpočetní proces budeme nazývat rekurzivní výpočetní proces, pokud se bude jednat o proces generovaný rekurzivní procedurou nebo několika procedurami, které se vzájemně aplikují, u kterého lze rozlišit fáze navíjení a odvíjení (přitom fáze odvíjení může být triviální).

Příklad 8.16. V předchozí formulaci rekurzivního výpočetního procesu je možnáne jasné, co je myšleno „několika vzájemně se aplikujícími procedurami“. Například pokud budeme uvažovat následující dvě procedury

(define fac-a (lambda (n) (if (<= n 1) 1 (* n (fac-b (- n 1))))))
(define fac-b (lambda (n) (if (<= n 1) 1 (* n (fac-a (- n 1))))))

pak snadno vidíme, že obě jsou modifikace rekurzivní verze procedury pro výpočet faktoriálu. Ovšem, v těle procedury navázanéna fac-a je aplikována procedura navázanána fac-b a obráceně. Přisně vzato tedy ani fac-a ani fac-b nejsou rekurzivní procedury. Na druhou stranu je ale zřejmé, že při aplikaci libovolnéz nich (pro n většínež jedna) bude výpočetní proces pokračovat aplikací druhé procedury, poté opět aplikací první procedury až do bodu, kdy bude dosažena limitní podmínka. Výpočetní proces tedy má fázi navíjení. Stejně tak má fázi odvíjení, kterázačínásplněním limitní podmínky. V tomto případě tedy máme dvě procedury, které se navzájem aplikují a generují rekurzivní výpočetní proces i když nejsou rekurzivní. Všimněte si, že obě procedury počítají faktoriál.

str210 V této sekci jsme zatím poznali dva typy rekurzivních výpočetních procesů: lineární rekurzivní proces je rekurzivní proces, který má netriviální fáze navíjení a odvíjení. Během fáze navíjení je budována „série odložených výpočtů“, přitom počet prostředí roste lineárně vzhledem k velikosti vstupních argumentů. Po dosažení limitní podmínky nastává fáze odvíjení, ve které je zpětně dokončeno vyhodnocování výrazů, které bylo započato a „odloženo“ ve fází navíjení. Činnost lineárně rekurzivního výpočetního proces nelze jednoduše přerušit ani není možné „skočit“ na nějaké místo rekurze17. Procedura fac z programu 8.3 generuje právě lineárně rekurzivní výpočetní proces.

lineární iterativní proces je výpočetní proces generovaný koncově rekurzivními procedurami. Nedochází při něm k vytváření „odložených výpočtů“. Každý lineárně iterativní výpočetní proces je během svéčinnosti jednoznačně určen (i) vazbami symbolů v prostředí P svého běhu,

(ii) předpisem, jak změnit stav vazeb v P na základě aktuálních vazeb, (iii) limitní podmínkou ukončující iterativní proces.

Lineárně iterativní výpočetní proces může být během svého výpočtu přerušen a posléze opět obnoven v místě přerušení. Fáze průběhu lineárně iterativní procesu je dána vazbami symbolů v prostředí jeho běhu, viz bod (i) z předchozího výpisu. Pokud tyto vazby uchováme a lineárně iterativní proces opustíme, je možné jej opět aktivovat s počátečními hodnotami nastavenými na uschované hodnoty.

Tím pádem se iterativní proces „rozběhne“ od místa zastavení.

Pro někoho možná nyní nastal malý terminologický zmatek, protože se bavíme o rekurzivních procedurách a o rekurzivních výpočetních procesech. Navíc některé rekurzivní procedury generují iterativní výpočetní procesy. Ve většině programovacích jazyků (zejména procedurálních jazyků) rekurzivní procedury nemohou generovat iterativní procesy. Na vytváření iterativních procesů jsou v těchto jazycích speciální prostředky – nejčastěji cykly. Z pohledu jazyka Scheme je tedy iterativní výpočetní proces ekvivalentem cyklů známých z procedurálních jazyků.

Příklad 8.17. Přerušení iterativního procesu si lze představit následovně. Vezměme si třeba proces schématicky ukázanýna obrázku 8.6. Kdybychom na 4. řádku proces „uřízli“ a zapamatovali si hodnoty 3 a 20, což byly aktuální vazby symbolů v prostředí, ve kterém byla aplikována procedura fac-iter, pak bychom mohli kdykoliv iterativní proces „spustit“ počínaje tímto krokem prostě tak, že bychom fac-iter aplikovali s danými hodnotami. Výsledkem by byla požadovaná hodnota 120. Naprogramujte tuto proceduru a prakticky se přesvědčte o jejím chování.

Poznámka 8.18. (a) Kvůli zjednodušení terminologie budeme rekurzivním procedurám generujícím pouze iterativní výpočetní procesy říkat iterativní procedury a procedurám generujícím pouze lineárně rekurzivní procesy lineárně rekurzivní procedury. Pořád je ale potřeba mít na paměti rozdíl mezi pojmy rekurzivní procedura versus rekurzivní výpočetní proces.

(b) Některé argumenty iterativních procedur hrajíspeciální role. Jedním typem argumentů jsou tak zvané čítače. Úkolem čítačů je nějakým způsobem počítat kroky iterace. Podle stavu čítače lze v případě potřeby zastavit iteraci. Například v proceduře fac-iter z programu 8.5 představuje formální argument i čítač, který je na počátku iterace nastaven na hodnotu n a v každém kroku iterace je snížen o jedna. Druhým typem významných argumentů jsou střadače. Účelem střadačů je nějakým způsobem akumulovat hodnoty během iterace. Ve výše uvedené proceduře fac-iter je accum střadač, který je na počátku iterace nastaven na hodnotu 1 a v každém kroku je akumulátor násoben aktuální hodnotou čítače – tímto způsobem se postupně akumulují součiny, které ve výsledku dávají hodnotu faktoriálu.

© Některé rekurzivní procedury aplikují sebe sama z několika pozic, některé z nich jsou koncové a některé koncové nejsou. Takové procedury obecně nejsou iterativní, protože při aplikaci z nekoncových pozic je potřeba vytvořit nové prostředí. Na druhou stranu, i u těchto procedur jsou koncové aplikace prováděny v témže prostředí. Takto se chová třeba následující procedura 17V dalším díle toho učebního textu uvidíme, že to ve skutečnosti možné je pomocí tak zvaných únikových funkcí a aktuálního pokračování. Jelikož se však jednaó pokročilé speciální konstrukty, věnujeme se jim až v dalším díle textu. Zatím bychom se na „výskok z rekurze“ měli dívat jako na něco, co je běžnými programátorskými prostředky neřešitelné.

str211

(define proc
  (lambda (x)
    (cond ((<= x 0) 0)
          ((even? x) (+ x (proc (/ x 2))))
          (else (proc (- x 1))))))

,

která koncově aplikuje sebe sama v případě, že na x je navázané liché číslo (viz tělo procedury). Pokud je na x navázané sudé číslo různé od nuly, pak je provedena aplikace z nekoncové pozice a při ní je vytvořeno nové prostředí.

Na závěr rozboru rekurzivní a iterativní verze procedur pro výpočet faktoriálu dodejme, že z hlediska programátorské čistoty by bylo vhodné nadefinovat pomocnou proceduru fac-iter interně v proceduře fac, protože fac-iter byla vytvořena za účelem, že ji bude aplikovat pouze fac. Iterativní procedura fac s interně definovanou pomocnou procedurou jsou uvedeny v programu 8.6.

5;Program 8.6 Iterativní procedura pro výpočet faktoriálu s interní definicí.

(define fac
  (lambda (n)
    (define iter
      (lambda (i accum)
        (if (<= i 1)
          accum
          (iter (- i 1) (* accum i)))))
    (iter n 1)))

V programu 8.7 máme uvedenou iterativní verzi procedury expt (procedura má opět pomocnou proceduru expt-iter, provádějící samotnou iteraci) pracujícís časovou složitostí O(log n) a prostorovou složitostí O(1).

5;Program 8.7 Iterativní procedura pro výpočet mocniny.

(define expt-iter
  (lambda (x n accum)
    (cond ((= n 0) accum)
          ((even? n) (expt-iter (* x x) (/ n 2) accum))
          (else (expt-iter x (- n 1) (* accum x))))))
 
(define expt
  (lambda (x n)
    (expt-iter x n 1)))

Na proceduře si všimněte toho, že jsme museli mírně upravit rekurzivní předpis tak, aby bylo možné jej vyjádřit pomocí koncové rekurze. Místo faktu x2n = (xn)2, který jsme využili v programu 8.2 na straně 203, jsme nyní využili vztahu x2n = (x2)n, to jest během iterativního výpočtu průběžně měníme kromě exponentu také základ.

Přesvědčte se sami, že tato úvaha je správnaá vede k řešení. Na obrázku 8.7 je pro demonstraci uveden průběh výpočtu 225. Zde si můžeme povšimnout průběžné změny základu (první argument), exponentu (druhý argument) a pomocného střadače (třetí argument), jehož hodnota je nakonec vrácena jako výsledek.

Přirozenou otázkou je, zda-li lze vždy rekurzivní výpočetní procesy nahradit iterativními výpočet-ními procesy. V terminologii procedur, které tyto procesy generují, se tedy ptáme, zda-li pro každou

str212 Obrázek 8.7. Schématické zachycení iterativní verze procedury expt.

(expt 2 25)
(expt-iter 2 25 1) ;navíjení: vyvolání 1. aplikace
(expt-iter 2 24 2) ;navíjení: vyvolání 2. aplikace
(expt-iter 4 12 2) ;navíjení: vyvolání 3. aplikace
(expt-iter 16 6 2) ;navíjení: vyvolání 4. aplikace
(expt-iter 256 3 2) ;navíjení: vyvolání 5. aplikace
(expt-iter 256 2 512) ;navíjení: vyvolání 6. aplikace
(expt-iter 65536 1 512) ;navíjení: vyvolání 7. aplikace
(expt-iter 65536 0 33554432) ;navíjení: vyvolání 8. aplikace
33554432 ;dosažení limitní podmínky a vrácení hodnoty

proceduru vedoucína rekurzivní proces můžeme napsat proceduru vedoucína iterativní proces. Odpověď je kladná, ale v některých případech to může být dost těžké a výsledek mnohdy „nestojíza to“ – výsledná procedura generující iterativní proces je výrazně méně čitelná než výchozí procedura.

Díky čemu je možné vždy najít proceduru vedoucína iterativní proces? Je to tím, že rekurzivní aplikaci a konstrukci odložených výpočtů můžeme plně simulovat pomocí zásobníku, který lze v případě jazyka Scheme udržovat pomocíseznamu odložených hodnot čekajících na další zpracování.

V programu 8.8 je uvedena iterativní verze procedury expt, která provádí simulace fáze navíjení a odvíjení původní rekurzivní procedury z programu 8.1 pomocí zásobníku.

5;Program 8.8 Iterativní procedura pro výpočet mocniny s pomocízásobníku.

(define expt
  (lambda (x n)
    (define expt-stack
      (lambda (n accum stack)
        (if (= n 0)
          (cond ((null? stack) accum)
                ((car stack) (expt-stack 0 (na2 accum) (cdr stack)))
                (else (expt-stack 0 (* accum x) (cdr stack))))
          (if (even? n)
            (expt-stack (/ n 2) accum (cons #t stack))
            (expt-stack (- n 1) accum (cons #f stack))))))
    (expt-stack n 1 '())))

Procedura expt z programu 8.8 má v sobě interně definovanou pomocnou proceduru expt-stack tří argumentů. Prvním z nich je exponent, druhým je střadač, který bude na konci výpočtu obsahovat hodnotu mocniny xn a posledním argumentem je stack. Základ (navázanýna symbol x v prostředí aplikace expt) není potřeba předávat, protože jeho hodnota je dostupná pro interně definovanou proceduru expt-stack a hodnota x nebude během výpočtu měněna. Procedura expt-stack, která provádísamotný výpočet, pracuje tak, že simuluje fázi navíjení a odvíjenína zásobníku. V if-výrazu v těle procedury jsou obě fáze rozlišeny limitní podmínkou (= n 0).

Pokud limitní podmínky není dosaženo, je zmenšován exponent (buďo jedna nebo na polovinu podle toho jestli je lichýnebo sudý) a na zásobník se pokládají hodnoty #f (příznak pro násobenízákladem v další fází výpočtu) a #t (příznak pro umocněnína druhou v další fází výpočtu). Po dosažení limitní podmínky začne být zpracováván zásobník, což je de facto simulace fáze odvíjení. Pokud je zásobník vyprázdněn, je vrácena hodnota akumulátoru. Pokud je prvním prvkem na zásobníku #t (příznak pro provedení umocnění), provede se další iterace s umocněnou hodnotou akumulátoru, v opačném případě je akumulátor vynásoben základem. Průběh výpočtu (pouze procedura expt-stack) je zobrazen na obrázku 8.8. Jak je z příkladu Obrázek 8.8. Schématické zachycení aplikace expt vytvořené s využitím zásobníku.

str213

(expt-stack 25 1 ()) ;simulace navíjení: vyvolání 1. aplikace
(expt-stack 24 1 (#f)) ;simulace navíjení: vyvolání 2. aplikace
(expt-stack 12 1 (#t #f)) ;simulace navíjení: vyvolání 3. aplikace
(expt-stack 6 1 (#t #t #f)) ;simulace navíjení: vyvolání 4. aplikace
(expt-stack 3 1 (#t #t #t #f)) ;simulace navíjení: vyvolání 5. aplikace
(expt-stack 2 1 (#f #t #t #t #f)) ;simulace navíjení: vyvolání 6. aplikace
(expt-stack 1 1 (#t #f #t #t #t #f)) ;simulace navíjení: vyvolání 7. aplikace
(expt-stack 0 1 (#f #t #f #t #t #t #f)) ;ukončenísimulace navíjení
(expt-stack 0 2 (#t #f #t #t #t #f)) ;simulace stavu po odvinutí 8. aplikace
(expt-stack 0 4 (#f #t #t #t #f)) ;simulace stavu po odvinutí 7. aplikace
(expt-stack 0 8 (#t #t #t #f)) ;simulace stavu po odvinutí 6. aplikace
(expt-stack 0 64 (#t #t #f)) ;simulace stavu po odvinutí 5. aplikace
(expt-stack 0 4096 (#t #f)) ;simulace stavu po odvinutí 4. aplikace
(expt-stack 0 16777216 (#f)) ;simulace stavu po odvinutí 3. aplikace
(expt-stack 0 33554432 ()) ;simulace stavu po odvinutí 2. aplikace
33554432 ;výsledná hodnota

a zřejmě i z programu 8.8 patrné, přepisování rekurzivních procedur pomocí dodatečného zásobníku v mnoha případech nepřispívá k čitelnosti programu, ani výrazně nezlepšuje efektivitu. Iterativní verze procedury expt z programu 8.8 máčasovou složitost O(log n), protože počet kroků je řádově stejný jako u efektivní rekurzivní varianty z programu 8.2. Prostorovásložitost je takeÓ(log n), protože v každém kroku aplikace je při simulaci navíjenízvětšen zásobník o jeden prvek. Prostorovásložitost je tedy řádově stejná jako u algoritmu 8.2. Iterativní verze expt pracujícíse zásobníkem tedy neníz pohledu výpočtoveéfektivity efektivnějšínež lineárně rekurzivní varianta. Iterativní proces generovaný procedurou expt-iter z programu 8.8 má tedy prostorovou složitost O(log n) (a nikoliv pouze O(1)).

Na programu 8.8 si můžeme uvědomit, že stanovení prostorové složitosti se neodvíjí pouze od počtu aplikací procedur (a tím pádem od počtu vzniklých prostředí), ale musíme brát v potaz i konstrukci hierarchických datových struktur jejichž délka je nějakým způsobem závislána velikosti vstupních argumentů.

Nyní se budeme zabývat třetím základní typem rekurzivních výpočetních procesů. Doposud jsme se za-bývali procedurami, které ve svých rekurzivních předpisech aplikovaly sebe sama právě jednou. Jedinou výjimkou byla procedura fib z programu 8.4 pro výpočet prvků Fibonacciho posloupnosti pomocí jejich rekurzivního předpisu. Tuto proceduru jsme „snadno naprogramovali“, ale již na konci sekce 9.2 jsme konstatovali, že procedura je trestuhodně neefektivní. To, jak moc je neefektivní, rozebereme nyní. Znázorněme si nejdřív schématicky průběh aplikace této procedury. Jelikož její rekurzivní předpis obsahuje dvě aplikace sebe sama, budeme vývoj výpočetního procesu zachycovat stromem. Uzly ve stromu budou zastupovat jednotlivé aplikace. Vrcholem stromu bude výchozí aplikace. Každý uzel má ve stromu tolik potomků, kolik je provedeno v rekurzivním předpisu dalších aplikací.

V případě procedury fib z programu 8.4 bude situace pro vstupní hodnotu 5 vypadat tak, jak je znázorněno na obrázku 8.9. Strom z obrázku 8.9 reprezentuje průběh výpočtu. Je to ale pouze jeho schéma. Tento obrázek bychom si neměli vykládat tak, že při výpočtu je nějaký takovýstrom skutečně „sestaven“ a pak se v něm něco „hledá“. Samotný průběh aplikace je zachycen na obrázku 8.10. Výpočet zahájený vyhodnocením (fib 5) pokračuje další aplikací (fib 4) (za předpokladu, že interpret vyhodnocuje prvky seznamu před aplikací procedury zleva doprava), dále se pokračuje aplikací (fib 3), (fib 2), a (fib 1). V tomto bodu a v této fází výpočtu jsme narazili na limitní podmínku, nastává fáze odvíjení. V dalším kroku se tedy

str214 Obrázek 8.9. Schématické zachycení aplikace rekurzivní verze fib.

(fib 5)
(fib 4)
(fib 3)
(fib 3)
(fib 2)
(fib 2)
(fib 1)
(fib 2)
(fib 1)
(fib 1)
(fib 0)
(fib 1)
(fib 0)
(fib 1)
(fib 0)

Obrázek 8.10. Postupné provádění aplikací při použití rekurzivní verze fib.

(fib 5)
(+ (fib 4) (fib 3))
(+ (+ (fib 3) (fib 2)) (fib 3))
(+ (+ (+ (fib 2) (fib 1)) (fib 2)) (fib 3))
(+ (+ (+ (+ (fib 1) (fib 0)) (fib 1)) (fib 2)) (fib 3))
(+ (+ (+ (+ 1 (fib 0)) (fib 1)) (fib 2)) (fib 3))
(+ (+ (+ (+ 1 0) (fib 1)) (fib 2)) (fib 3))
(+ (+ (+ 1 (fib 1)) (fib 2)) (fib 3))
(+ (+ (+ 1 1) (fib 2)) (fib 3))
(+ (+ 2 (fib 2)) (fib 3))
(+ (+ 2 (+ (fib 1) (fib 0))) (fib 3))
(+ (+ 2 (+ 1 (fib 0))) (fib 3))
(+ (+ 2 (+ 1 0)) (fib 3))
(+ (+ 2 1) (fib 3))
(+ 3 (fib 3))
(+ 3 (+ (fib 2) (fib 1)))
(+ 3 (+ (+ (fib 1) (fib 0)) (fib 1)))
(+ 3 (+ (+ 1 (fib 0)) (fib 1)))
(+ 3 (+ (+ 1 0) (fib 1)))
(+ 3 (+ 1 (fib 1)))
(+ 3 (+ 1 1))
(+ 3 2)
5

str215 opět vrátíme do bodu aplikace (fib 2), abychom zde dokončili „odložený výpočet“. Součástí odloženého výpočtu je však další rekurzivní aplikace (fib 0). Po jeho provedení se opět narazí na limitní podmínku a výpočet pokračuje v prostředí aplikace (fib 2), kde je dokončen výpočet, ten již skutečně dokončen být může, protože hodnoty 1 a 0 pro součet již byly spočteny předchozími rekurzivními aplikacemi. Nastává tedy dále fáze odvíjení v prostředí aplikace (fib 3). Zde je součástí odloženého výpočtu další rekurzivní aplikaci (fib 1), … Fáze navíjení a odvíjení se dále střídají ve směru šipky nakreslené v obrázku 8.9.

Všimněte si, že neefektivita výpočetního procesu spočívá v opakovaném vypočítávání týchž hodnot.

Nyní můžeme provést hrubý odhad složitosti výpočetního procesu generovaného rekurzivní procedurou fib z programu 8.4. Počet kroku, které je pro danén potřeba k vypočtení výsledku je daný počtem uzlů, které se nacházejí ve stromě zachycujícím všechny aplikace (protože sčítání v jednotlivých aplikacích probíhá v konstantním čase). V našem případě má každýuzel buďžádnýnebo dva potomky. Nejdelšícesta od kořene k listu (uzlu bez potomka), tak zvaná hloubka stromu, má pro danén délku n. Pokud bychom si nyní zjednodušili situaci tím, že bychom konstatovali, že strom je vyvážený, pak víme, že počet jeho uzlů je 2n − 1. Pesimistický odhad časové složitosti by tedy byl O(2n). Podotkněme, že strom aplikací fib obecně není vyvážený a lze udělat mnohem přesnější odhady časové složitosti výpočty hodnoty fib pro n, ale důležitým faktem je, že časovásložitost narůstaéxponenciálně vzhledem k n.

Procedura fib z programu 8.4 je tedy použitelná pouze pro malé vstupní hodnoty n (už při n = 30 je prodleva znatelná, protože proběhne celkem 2692537 aplikací). Procedura je tedy prakticky nepoužitelná. S prostorovou složitostína tom nejsme tak špatně, ta je v třídě O(n). Při jejím stanovení je klíčové pozorování, kolik prostoru je spotřebováno (maximálně) při průchodu stromem z obrázku 8.9 ve směru postupných aplikací. Pro dané n má strom největší hloubku n, tedy spotřebovaný prostor roste lineárně s hloubkou stromu (to jest s rostoucím n).

Výpočetní proces generovaný procedurou fib z programu 8.4 nazýváme stromově rekurzivní výpočetní proces.

Charakteristiku procesů toho typu bychom mohli shrnout takto:

stromově rekurzivní proces je výpočetní proces svým průběhem připomínající lineární výpočetní proces, jen s tím rozdílem, že počet aplikací rekurzivníneroste lineárně s velikostí vstupu. Stromově rekurzivní proces je typicky generován procedurami, které ve svých rekurzivních předpisech vyvolají dvě nebo více aplikacísebe sama. Pro stromově rekurzivní výpočetní procesy je charakteristické postupné střídání fází navíjení a odvíjení.

V případě stromově rekurzivních výpočetních procesů stanovujeme časovou složitost stanovením počtu aplikací procedury v závislosti na vstupních datech, což je počet uzlů v pomyslném „stromu“ zachycujícím průběh celého výpočtu. Při stanovení prostorové složitosti se lze odrazit od hloubky stromu, kteraúdává maximální hloubku (zanoření) rekurzivních aplikací.

Dobrou zprávou je, že i v případě Fibonacciho čísel můžeme naprogramovat proceduru pro jejich výpočet efektivně. Snadno totiž můžeme najít iterativní proceduru, která bude Fibonacciho čísla počítat v čase O(n) a v prostoru O(1). Tato procedura bude mít jeden argumentem jímž bude čítač zachycující kolik je potřeba udělat iterací a dva pomocné argumenty v nichž bude uchovávat poslední dvě vypočtená Fibonacciho čísla. Procedura je uvedena v programu 8.9. Procedura fib opět provede pouze aplikaci pomocne íterativní procedury fib-iter. Procedura fib-iter je z fib aplikována s čítačem nastavením na hodnotu vstupního čísla (poslední argument), první dva prvky Fibonacciho posloupnosti jsou 0 a 1 (první dva argumenty).

Z kódu procedury fib-iter lze snadno vyčíst, že iterace je zastavena pokud čítač klesne na nulu. Potom je vrácena hodnota navázanána prvním symbolu (první pomocnýargument). Rekurzivní předpis říká, že v každém kroku je snížen čítač o jedna, a záznam o posledních dvou Fibonacciho číslech je změněn tak, aby se v dalším kroku opět jednalo o (další) dvě poslední Fibonacciho čísla v posloupnosti. Na obrázku 8.11 je ukázka aplikace procedury fib z programu 8.9 pro vstupní hodnotu 5. Časová složitost výpočtu je zřejmě ve třídě O(n), prostorová v O(1). Procedur fib-iter v programu 8.9 bychom opět mohli definovat jako interní ve fib, abychom provedli odstínění pomocné procedury fib-iter od uživatele procedury fib, viz program 8.10.

str216 5;Program 8.9 Iterativní procedura pro výpočet Fibonacciho čísel.

(define fib-iter
  (lambda (a b i)
    (if (<= i 0)
      a
      (fib-iter b (+ a b) (- i 1)))))
 
(define fib
  (lambda (n)
    (fib-iter 0 1 n)))

Obrázek 8.11. Schématické zachycení aplikace iterativní verze fib.

(fib 5)
(fib-iter 0 1 5) ;navíjení: vyvolání 1. aplikace
(fib-iter 1 1 4) ;navíjení: vyvolání 2. aplikace
(fib-iter 1 2 3) ;navíjení: vyvolání 3. aplikace
(fib-iter 2 3 2) ;navíjení: vyvolání 4. aplikace
(fib-iter 3 5 1) ;navíjení: vyvolání 5. aplikace
(fib-iter 5 8 0) ;navíjení: vyvolání 6. aplikace
5 ;dosažení limitní podmínky a vrácení hodnoty

V této sekci jsme ukázali, že různé rekurzivní procedury generují kvalitativně různé výpočetní procesy s různou náročnostína výpočetnízdroje počítače. S tímto faktem je vždy potřeba dopředu počítat.

Při programování bychom se měli soustředit jak na efektivitu procedur tak na čistotu jejich provedení a na jejich celkovou čitelnost. Efektivita a čistota provedení jdou leckdy proti sobě, u konkrétních aplikací je tedy potřeba najít přijatelný kompromis. Uživatele obvykle zajímá „rychlost programu“, což hovoří pro větší důraz na efektivitu. Na druhou stranu uživatele také často zajímá „rozšiřitelnost, přizpůsobitelnost a přenositelnost programu“, což naopak vede k důrazu na čisté provedení programu (vysoce optimalizované programy jsou zpravidla těžko čitelné a jejich rozšiřitelnost je tím pádem těžšínebo prakticky nemožná).

Poznámka 8.19. Stromová rekurze je často používaným nástrojem při zpracování hierarchických dat. Touto problematikou se budeme zabývat především v další lekci. V této sekci jsme si představili stromově rekurzivní výpočetní procesy jako jeden typ procesů generovaných rekurzivními procedurami. Obecně nelze říct, jak by se na první pohled možná mohlo zdát, že stromově rekurzivní procesy jsou „neefektivní “, nebo že vždy vedou na exponenciálníčasovou složitost. Tak tomu není. Složitost totiž vždy stanovujeme vzhledem k velikosti vstupních dat. Pokud budou vstupní data reprezentována (nějakou) hierarchickou datovou strukturou s n uzly a tyto uzly budou nějakou procedurou procházeny s použitím stromové rekurze jeden po druhém, pak bude časová složitost této procedury lineární, i když šlo o proceduru generující stromově rekurzivní výpočetní proces.

s8_4

U mnoha příkladů v předchozí lekci jsme při vytváření procedury řešící daný problém vytvořili pomocnou proceduru, kterou jsme z hlavní procedury aplikovali pouze jednou. Například tomu tak bylo v programech 8.9 a 8.10. Třeba v programu 8.9 byla pomocná iterativní procedura fib-iter použita jednorázově v těle

str217 5;Program 8.10 Iterativní procedura pro výpočet Fibonacciho čísel s interní definicí.

(define fib
  (lambda (n)
    (define iter
      (lambda (a b i)
        (if (<= i 0)
          a
          (iter b (+ a b) (- i 1)))))
    (iter 0 1 n)))

procedury fib. Na žádném dalším místě programu (mimo tělo samotné procedury fib-iter) již k aplikaci procedury fib-iter nedochází. V předchozí sekci byla vždy pomocná procedura iterativní, obecně se ale můžeme do podobné situace dostat i v případě, kdy pomocná procedura generuje lineární nebo stromově rekurzivní výpočetní proces.

jazyku Scheme máme k dispozici aparát pro stručnější definici rekurzivní procedury, která je po své definici jednorázově použita (s danými argumenty). K tomuto účelu slouží rozšířeníspeciální formy let, kterému říkáme pojmenovaný let. Popis tohoto rozšíření let následuje.

Definice 8.20 (speciální forma let, pojmenovaná verze). Speciální forma pojmenovaný let se používá se třemi nebo více argumenty ve tvaru

(let jméno ((symbol1 výraz1)
            (symbol2 výraz2)
            .
            .
            .
            (symboln výrazn))
  tělo1
  tělo2
  .
  .
  .
  tělok)

kde n ≥ 0, k ≥ 1; symbol1 , … , symboln jsou vzájemně různé symboly, jméno je symbol (obecně se může jednat i o některýze symbolů symbol1 , … , symboln ), výraz1 , … , výrazn jsou libovolné výrazy jejichž

vyhodnocením vznikají počáteční vazby příslušných symbolů, a tělo1 , … , tělok jsou výrazy tvořící tělo.

Aplikace pojmenované verze speciální formy let s výše uvedenými argumenty probíhá tak, že interpret tuto formu nahradí následujícím kódem

(let () (define jméno (lambda (symbol1 symbol2 · · · symboln) tělo1 tělo2 . . . tělok )) (jméno výraz1 výraz2 · · · výrazn )),

který je vyhodnocen v aktuálním prostředí.

Na první pohled se pojmenovaný let od tradiční formy let liší tím, že jeho první argument není seznam (vazeb), ale symbol. Ve zbyléčásti již ze syntaktického hlediska rozdíl není. Z předchozího popisu je vidět, že výskyty pojmenovaného let v programu jsou během vyhodnocování nahrazovány jiným kódem, ve kterém je použita tradičníspeciální forma let k vytvořenínového prostředí (bez vazeb, všimněte si, že let má prázdný seznam vazeb). str218 V těle speciální formy let je potom klasickým způsobem definována procedura, která je navázána na symbol jméno . Tělo procedury je tvořeno tělem pojmenovaného let a argumenty procedury jsou symboly, které v pojmenovaném let označovaly jména nových vazeb. Tato procedura je potom jednorázově aplikována s argumenty jimiž jsou hodnoty vzniklé vyhodnocením výrazů předaných pojmenovanému let.

Pokud použijeme pojmenovaná let (to jest let, kde prvním argumentem je symbol – jméno) aniž bychom dané jméno použili v těle této speciální formy, pak má pojmenovaný let stejný efekt jako klasický let:

(let proc ((x (* 2 5))
           (y 20))
  (+ x y)) ;⇒ 30

což je dobře vidět, když si uvědomíme, že předchozí kód je ekvivalentní:

(let ()
  (define proc
    (lambda (x y)
      (+ x y)))
  (proc (* 2 5) 20)) ;⇒ 30

Z definice pojmenovaného let uvedené v předchozím příkladě je dobře vidět, že prostředí vyhodnocení těla je prostředí aplikace procedury navázanéna symbol jméno . Navíc v těle másymbol jméno aktuální vazbu jíž je právě aplikovaná procedura. Pomocísymbolu jméno a jeho vazby je tedy možné provádět aplikaci „sebe sama“. Například následující kód ukazuje provede sečteníčísel od 0 do 10 pomocí rekurzivní aplikace (jednorázové) procedury vytvořené touto speciální formou:

(let proc ((n 10))
  (if (= n 0)
    0
    (+ n (proc (- n 1))))) ;⇒ 55

Předchozí použití pojmenovaného let je během vyhodnocování přepsáno na

(let ()
  (define proc
    (lambda (n)
      (if (= n 0)
        0
        (+ n (proc (- n 1))))))
  (proc 10))

Následující příklad ukazuje rekurzivní verzi procedury fib pro výpočet prvků Fibonacciho posloupnosti, která je definována pomocí pojmenovaného let a jednorázově aplikována s hodnotou 30:

(let fib ((n 30))
  (if (<= n 1)
    n
    (+ (fib (- n 1))
       (fib (- n 2))))) ;⇒ 832040

Jméno uvedené v pojmenovaném let se může shodovat s některým ze symbolů pojmenovávajícím vazby, i když to není účelné. V takovém případě je totiž vazba symbolu jméno překryta hodnotou předávaného argumentu, viz příklad:

(let f ((x (* 2 5))
        (y 20)
        (f 100))
  (list x y f)) ;⇒ (10 20 100)

což je opět patrné, pokud si předchozí pojmenovaný let rozepíšeme: str219

(let ()
  (define f
    (lambda (x y f)
      (list x y f)))
  (f (* 2 5) 20 100)) ;⇒ (10 20 100)

V programech 8.11 a 8.12 jsou uvedeny verze programů 8.6 a 8.10 ze stran 212 a 218, ve kterých byla interně definovana jednorázově aplikovaná procedura vytvořena pomocí pojmenovaného let.

5;Program 8.11 Iterativní procedura pro výpočet faktoriálu s interní definicí pomocí pojmenovaného let.

(define fac
  (lambda (n)
    (let iter ((i n)
               (accum 1))
      (if (<= i 1)
        accum
        (iter (- i 1) (* accum i))))))

5;Program 8.12 Iterativní procedura pro výpočet Fib. čísel s interní definicí pomocí pojmenovaného let.

(define fib
  (lambda (n)
    (let iter ((a 0)
               (b 1)
               (i n))
      (if (<= i 0)
        a
        (iter b (+ a b) (- i 1))))))

Použití pojmenovaného let je vhodné v případě, kdy potřebujeme okamžitě a jednorázově aplikovat právě definovanou pomocnou proceduru, která je rekurzivní. Z hlediska použití pojmenovaného let je přitom jedno, jaký rekurzivní výpočetní proces tato pomocní procedura generuje.

s8_5

Nyní se budeme blíže zabývat rekurzivními procedurami pracujícími se seznamy. Po teoretické stránce jde opět o klasickeúživatelsky definované procedury, jak jsme se představili již v lekci 2. Rekurzivní procedury pracujícíse seznamy mohou stejně jako procedury pracujícínad čísly generovat kvalitativně různé rekurzivní výpočetní procesy. Opět se jednaó lineárně rekurzivní výpočetní proces, lineárně iterativní výpočetní proces a stromově rekurzivní výpočetní proces.

Jako první si ukážeme rekurzivní variantu procedury length pro výpočet délky seznamu. Připomeňme, že tuto proceduru jsme již implementovali hned dvakrát. První verze používala map a apply, viz program 6.1 na straně 145. Druhou verzi jsme implementovali pomocí foldr, viz program 7.1 na straně 174. Varianta pomocí foldr byla efektivnějšínež verze používající map a apply. V programu 8.13 máme uvedenu rekurzivní verzi procedury length, která je co se týče efektivity stejně kvalitní jako verze z programu 7.1.

Limitní podmínkou výpočtu délky seznamu je prázdný seznam, ten má délku nula.

str220 5;Program 8.13 Výpočet délky seznamu pomocí rekurze.

(define length
  (lambda (l)
    (if (null? l)
      0
      (+ 1 (length (cdr l))))))

5;Program 8.14 Iterativní výpočet délky seznamu.

(define length
  (lambda (l)
    (let iter ((l l)
               (steps 0))
      (if (null? l)
        steps
        (iter (cdr l) (+ steps 1))))))

Pokud je seznam neprázdný, pak je rekurzivním předpisem problém výpočtu délky tohoto seznamu redukován na problém nalezení délky seznamu bez prvního prvku (rekurzivní aplikace) a přičtení jedničky (započtení prvního prvku výchozího seznamu). Všimněte si, že rekurzivní procedura z programu 8.13 je v podstatě jen přepisem rekurzivního definičního vztahu ze sekce 8.1.

Procedura length z programu 8.13 má prostorovou složitost O(n), kde n je délka seznamu, protože při každé rekurzivní aplikaci je vytvořeno nové prostředí (rekurzivní aplikace length není koncová). Snadno bychom ale mohli length naprogramovat iterativně. K tomuto účelu bychom potřebovali (jednorázově používanou) pomocnou proceduru s dvěma argumenty. Jedním by byl seznam, který by sloužil jako čítač – při každém kroku bychom z něj odebírali jeden prvek. Druhýargument by sloužil jako číselnýstřadač, který by počítal počet kroků. Iterativní verze length je uvedena v programu 9.14. Tato iterativní verze má prostorovou složitost O(1), během aplikace jsou vytvořena vždy jen dvě prostředí a nejsou konstruovány žádné hierarchické datové struktury. Průběh aplikace iterativní verze length pro konkrétní vstupníseznam ve tvaru (a 10.2 b #f) je zobrazen na obrázku 8.12. Jak je z tohoto obrázku patrné, průběh iterativního procesu se ničím neliší od průběhu iterativních procesů uvedených v předchozísekci. Na věci nic nemění to, že nynízpracováváme seznam a limitní podmínka je formulována pro seznam. V dalších ukázkách v této sekci již tedy nebudeme podrobně znázorňovat průběhy jednotlivých výpočetních procesů a ponecháme je na laskavém čtenáři.

Nyní se budeme věnovat rekurzivnímu spojení dvou seznamů. V úvodu této lekce jsme ukázali rekurzivní definici zobrazení append2. V programu 8.15 je definována procedura append2, která reprezentuje rekurzivně definované append2 ze sekce 8.1. Limitní podmínkou je, pokud je prvníze spojovaných seznamů prázdný, v tom případě je spojení rovno druhému seznamu. V opačném případě je problém spojení dvou seznamů redukován na problém spojení prvního seznamu bez prvního prvku s druhým seznamem (rekurzivní aplikace) a následné připojení prvního prvku prvního seznamu na začátek výsledku předchozího spojení. Proceduru append2 jsme již takéněkolikrát implementovali. Poprvé to byla neefektivní implementace v programu 5.2 na straně 124, která byla založenána build-list a přístupu k prvkům seznamu pomocí list-ref. Dále jsme provedli implementaci pomocí foldr, viz program 7.2 na straně 175.

Z hlediska efektivity, je rekurzivní verze append2 shodnás append2 vytvořené pomocí foldr. Samotnou proceduru foldr bychom mohli rovněž snadno naprogramovat jako rekurzivní proceduru. Tímto a dalšími problémy se budeme zabývat v následující lekci.

Ne všechny procedury, se kterými jsme se setkali, však lze efektivně naprogramovat pomocí foldr. Při-nejmenším to neníz programátorského pohledu nijak „přímočaré“. Takovou procedurou je třeba procedura 221

Obrázek 8.12. Schématické zachycení aplikace iterativní verze length.

(length (a 10.2 b #f))
(iter (a 10.2 b #f) 0) ;navíjení: vyvolání 1. aplikace
(iter (10.2 b #f) 1) ;navíjení: vyvolání 2. aplikace
(iter (b #f) 2) ;navíjení: vyvolání 3. aplikace
(iter (#f) 3) ;navíjení: vyvolání 4. aplikace
(iter () 4) ;navíjení: vyvolání 5. aplikace
4 ;dosažení limitní podmínky a vrácení hodnoty

5;Program 8.15 Spojení dvou seznamů pomocí rekurze.

(define append2
  (lambda (l1 l2)
    (if (null? l1)
      l2
      (cons (car l1) (append2 (cdr l1) l2)))))

list-ref, která pro daný seznam a index vrací prvek seznamu nacházející se na pozici určené indexem.

Snadno lze ale naprogramovat iterativní proceduru, která n-tý prvek seznamu vrací. Viz proceduru v programu 8.16. Tato procedura skutečně vždy generuje iterativní výpočetní proces, protože její jediná rekurzivní aplikace se nachází v koncové pozici.

5;Program 8.16 Rekurzivní verze proceduru vracející prvek na dané pozici v seznamu.

(define list-ref
  (lambda (l index)
    (if (= index 0)
      (car l)
      (list-ref (cdr l) (- index 1)))))

Limitní podmínkou procedury je, pokud je index nulový. V tom případě vracíme první prvek seznamu, který lze získat v konstantním čase pomocí car. Pokud je index nenulový, pak víme, že hledaný prvek se nachází hlouběji v seznamu. Hledání n-tého prvku seznamu je tedy redukováno na hledání prvku na pozici n − 1 v seznamu zkráceném o první prvek. Procedura list-ref má časovou složitost O(n), kde n je pozice (index) v seznamu. Časová složitost tedy není závislána délce vstupního seznamu, ale na pozici, ze které chceme prvek vrátit. Prostorová složitost je O(1). Z hlediska složitosti jde o významný posun oproti verzi list-ref z programu 6.4 na straně 147, která měla při efektivní implementaci procedur filter (pracující v čase a prostoru O(n)) a length (z programu 8.14) časovou složitost O(4n) a prostorovou složitost O(3n) (zdůvodněte si podrobně proč).

Analogicky jako proceduru list-ref bychom mohli naprogramovat obecnější proceduru list-tail, která pro daný seznam a číselnýargument n vrátíseznam bez prvních n prvků. Viz program 9.17. Jedná se opět o iterativní proceduru s časovou složitostí O(n), kde n je počet vypuštěných prvků, a prostorovou složitostí O(1). Z definice procedury list-tail je zřejmé, že pomocí ní bychom mohli definovat list-ref:

(define list-ref
  (lambda (l index)
    (car (list-tail l index))))

Mapování přes jeden seznam bychom mohli přímočaře naprogramovat pomocí rekurzivní procedury.

V předchozích částech textu jsme již dvě implementace procedury map1 (mapování přes jediný seznam) viděli.

str222 5;Program 8.17 Procedura vracejícíseznam bez zadaného počtu prvních prvků.

(define list-tail
  (lambda (l skip)
    (if (= skip 0)
      l
      (list-tail (cdr l) (- skip 1)))))

Prvníz nich byla v programu 5.3 na straně 126, využívala těžkopádně build-list a list-ref a byla hodně neefektivní. Další implementace byla ukázána v programu 7.4 na straně 176 a používala foldr. Tato verze již byla efektivní a efektivnější verzi z principu vytvořit nelze – při mapování totiž vytváříme nový seznam délky n, takže časová i prostorová složitost nemohou být řádově lepší než O(n). Rekurzivní verze map1 však může být čitelnější než verze vytvořená pomocí foldr. Rekurzivní verzi map1 máme zobrazenu v programu 8.18. Mezním případem je opět případ pro prázdný seznam. V tomto případě je výsledkem mapování procedury přes prázdný seznam opět prázdný seznam.

5;Program 8.18 Mapovací procedura pracující s jedním seznamem pomocí rekurze

(define map1
  (lambda (f l)
    (if (null? l)
      '()
      (cons (f (car l))
	    (map1 f (cdr l))))))

V případě, že je daný seznam neprázdný, je výsledkem mapování seznam vzniklý připojením modifikace prvního prvku na výsledek mapování přes seznam bez prvního prvku.

Jednou z procedur, kterou by bylo bez rekurze těžké vytvořit, je procedura build-list sloužící k vytváření seznamů dané délky jež obsahují prvky dané jako výsledky aplikace procedury jednoho argumentu (argumentem je pozice prvku v seznamu). Naprogramovat proceduru build-list pomocí rekurze je přímočaré.

Triviálním případem je vytvoření seznamu délky nula – ten je vždycky prázdný. V opačném případě lze redukovat problém vytvořenín-prvkového seznamu na problém vytvořeníseznamu o n − 1 prvcích na jehož počátek je připojen nový prvek. Rekurzivní procedura je uvedena v programu 8.19.

5;Program 8.19 Rekurzivní verze procedury na vytvářeníseznamů.

(define build-list
  (lambda (n f)
    (let build-next ((i 0))
      (if (= i n)
        '()
        (cons (f i) (build-next (+ i 1)))))))

V proceduře build-list je pomocí pojmenovaného let vytvořena jednorázově aplikovaná rekurzivní procedura vytvářejícíseznam. Tuto proceduru jsme vytvořili proto, že jsme potřebovali další argument pomocí nějž si předáváme informaci o pozici prvku, kterýchceme vytvořit. V limitní podmínka vyjadřuje zastavenínavíjení (konstrukce seznamu) v případě, že již jsme na pozici vyskytujícíse „za posledním požadovaným prvkem“. Dokud není limitní podmínky dosaženo, jsou rekurzivně konstruovány prvky pomocícons a pomocí předané procedury navázanéna f. str223 Implementace build-list z programu 8.19 má časovou i prostorovou složitost O(n), kde n je délka seznamu, kterýchceme vytvářet. Jedná se tedy o maximálně efektivní implementaci (lepší řádové složitosti již nelze dosáhnout).

V programu 8.19 jsme výsledný seznam konstruovali jakoby odpředu. To jest od prvku s nejnižším indexem až k prvku s nejvyšším indexem. Mohli bychom postupovat i obráceně. To by mělo zdánlivou výhodu v tom, že bychom nemuseli definovat pomocnou proceduru. Řešení je uvedeno v programu 8.20.

5;Program 8.20 Neefektivní verze procedury na vytvářeníseznamů.

(define build-list-rev
  (lambda (n f)
    (if (= n 0)
      '()
      (append2 (build-list-rev (- n 1) f)
               (list (f (- n 1)))))))

Při pozorném studiu programu záhy zjistíme, že program je ale velmi neefektivní. Je to způsobeno používáním append2 při každé rekurzivní aplikaci. Pomocí append2 spojujeme seznamy délky n − 1 s jednoprvkovým seznamem – tím realizujeme připojenínově vytvořeného prvku na konec seznamu. Nejefektivnější verze append2 potřebuje n kroků pro spojení prvního seznamu délky n s libovolným seznamem. Tím pádem procedura build-list-rev potřebuje postupně n − 1, n − 2, … , 1 kroků k postupnému zařazení všech vytvářených prvků na konec seznamu. Součtem prvků aritmetické posloupnosti tedy získáme celkem n·(n−1) kroků. Časovásložitost build-list-rev je tedy kvadratická vzhledem k délce vytvářeného seznamu.

2

I prostorová složitost je v této třídě, protože během používání append2 jsou postupně dokola konstruovány nové seznamy délek n, n − 1, … , 1. Celkově vzato je tedy procedura build-list-rev velmi neefektivní.

Na této proceduře je taky dobreúvědomit si, že i když procedura generuje lineárně rekurzivní výpočetní proces, její časové složitost není lineární vzhledem ke velikosti vstupu. Slovo „lineární“ v pojmu „lineárně rekurzivní výpočetní proces“ se totiž vztahuje k počtu rekurzivních aplikací procedury. Vždy je ale potřeba ještě brát v potaz, co se (z hlediska časové náročnosti) děje v každé z aplikací.

Samotné vytváření seznamů počínaje posledním prvkem však není zavrženíhodná myšlenka. Místo rekurzivní verze konstrukce je však vhodné používat ke konstrukci seznamu iterativní proceduru, která bude nově vytvářené prvky postupně „střádat“ do nového seznamu. V programu 8.21 je uvedena procedura build-list-iter vytvářející seznam právě tímto způsobem.

5;Program 8.21 Rekurzivní verze procedury na vytváření seznamů.

(define build-list-iter
  (lambda (n f)
    (let iter ((i (- n 1))
               (accum '()))
      (if (< i 0)
        accum
        (iter (- i 1) (cons (f i) accum))))))

Procedura build-list-iter opět používá pomocnou proceduru vytvořenou pomocí pojmenovaného let. Tato pomocí procedura má dva argumenty, jedním je čítač jdoucí od n − 1 (poslední pozice v konstruovaném seznamu) k 0 (první pozice v konstruovaném seznamu). V každém kroku konstrukce je tento čítač zmenšen o jedna. Iterace končí pokud je čítač menšínež hodnota nula (všechny prvky již byly vytvořeny). Druhým argumentem pomocné procedury je akumulátor, ke kterému jsou postupně (zepředu) přidávány nově vytvořené prvky. Po dosažení limitní podmínky je vrácena hodnota akumulátoru. Časovaá prostorovásložitost tohoto řešení je O(n). Oproti verzi z programu 8.19 je rekurzivní aplikace prováděna v jednom prostředí, protože jde o iteraci. I přesto je ale prostorovásložitost O(n), protože dojde k vytvořenín-prvkového seznamu.

str224 Nyní se budeme věnovat efektivní proceduře pro převracení prvků seznamu. Jde nám tedy o efektivní implementaci procedury reverse. Stejně jako v případě vytvářeníseznamů „odzadu“, které jsme viděli v procedurách build-list-rev a build-list-iter, bude existovat několik řešení lišících se ve sveéfektivitě. Nejprve si ukážeme řešení, kterénení příliš efektivní. V programu 8.22 je uvedena lineárně rekurzivní procedura reverse.

5;Program 8.22 Neefektivní verze převracení prvků v seznamu.

(define reverse
  (lambda (l)
    (if (null? l)
      '()
      (append (reverse (cdr l))
              (list (car l))))))

Tato procedura je založena na faktu, že převrácení prázdného seznamu je triviální a pokud máme převrátit neprázdný seznam, pak stačí převrátit zbytek tohoto seznamu bez prvního prvku a potom nakonec takového seznamu připojit původní první prvek. Procedura reverse z programu 8.22 tedy trpí stejným neduhem jako lineárně rekurzivní procedura build-list-rev – při každé rekurzivní aplikaci je použita procedura append2 s liné arníčasovou složitostí. Převrácení seznamu tímto způsobem má tedy opět řádově kvadratickou časovou i prostorovou složitost.

Efektivní verzi převrácení seznamu bychom mohli vytvořit pomocí iterativní procedury provádějící spojení dvou seznamů tak, že ve výsledku je prvníz těchto dvou seznamů spojen v opačném pořadí. Proceduru provádějící tento typ spojenínazveme rev-append2 a její kód je uveden v programu 8.23.

5;Program 8.23 Iterativní verze převrácení prvků v seznamu.

(define rev-append2
  (lambda (l1 l2)
    (if (null? l1)
      l2
      (rev-append2 (cdr l1)
                   (cons (car l1) l2)))))
 
(define reverse
  (lambda (l)
    (rev-append2 l '())))

Proceduraca rev-append2 používá svůj první argument (prvníze spojovaných seznamů) jako čítač a druhý argument (druhý ze spojovaných seznamů) jako akumulátor. Pokud je prvníze spojovaných seznamů prázdný, je vrácen druhý seznam. V opačném případě je z prvního seznamu odebrán jeho první prvek, který je přidán na začátek druhého seznamu. Viz následující příklady použití procedury rev-append2:

(rev-append2 '() '()) ;⇒ ()
(rev-append2 '() '(1 2 3 4)) ;⇒ (1 2 3 4)
(rev-append2 '(a) '(1 2 3 4)) ;⇒ (a 1 2 3 4)
(rev-append2 '(a b) '(1 2 3 4)) ;⇒ (b a 1 2 3 4)
(rev-append2 '(a b c) '(1 2 3 4)) ;⇒ (c b a 1 2 3 4)
(rev-append2 '(a b c) '()) ;⇒ (c b a)

Nyní je jasné, že efektivní reverse můžeme naprogramovat jako proceduru, která pouze aplikuje proceduru rev-append2 s druhým seznamem, který je prázdný, viz program 8.23. Procedura rev-append2 a tím pádem i procedura reverse má lineární časovou i prostorovou složitost.

str225 Nyní, na konci sekce, uvedeme implementaci třídění nazývaného mergesort. Tato metoda je založena na takzvaném slévání již setříděných seznamů. Ze dvou setříděných seznamů je totiž možné snadno vytvořit jeden setříděný seznam. Stačí nám totiž postupně odebírat vždy menší z prvních prvků těchto seznamů a konstruovat z nich výsledný seznam. Předveďme si to na konkrétních seznamech:

;první seznam:
(1 7 8)
(7 8)
(7 8)
(7 8)
(8)
()
;druhý seznam:
(2 3 9 10)
(2 3 9 10)
(3 9 10)
(9 10)
(9 10)
(9 10)
;výsledek:
()
(1)
(1 2)
(1 2 3)
(1 2 3 7)
(1 2 3 7 8)
;prvníseznam:
()
()
;druhý seznam:
(10)
()
;výsledek:
(1 2 3 7 8 9)
(1 2 3 7 8 9 10)

Proceduru na slévání dvou setříděných seznamů můžeme napsat třeba takto:

(define merge
  (lambda (s1 s2)
    (cond ((null? s1) s2)
          ((null? s2) s1)
          ((<= (car s1) (car s2)) (cons (car s1) (merge (cdr s1) s2)))
          (else (cons (car s2) (merge s1 (cdr s2)))))))

Jednáse tedy o rekurzívní proceduru. Její limitní podmínkou je to, že je aspoň jeden ze seznamů prázdný. Je-li této podmínky dosaženo, je vrácen zbývající (potenciálně neprázdný) seznam. Není-li limitní podmínky dosaženo, redukujeme problém na připojení prvku procedurou cons a slévání seznamů, z nichž je jeden původní a jeden vznikne z druhého původního odebráním prvního prvku.

V uvedené definici procedury merge používáme k porovnávání prvních prvků seznamů predikát ⇐. To samozřejmě není jediné uspořádání, podle kterého můžeme chtít slévat. Jednoduchým rozšířením procedury merge na proceduru vyššího řádu, které budeme mimo setříděných seznamů předávat navíc predikát urču-jící uspořádání, dosáhneme výrazného zobecnění. Proceduru navíc napíšeme tak, aby tento novýargument byl volitelný. Následuje definice rozšířené procedury.

(define merge
  (lambda (s1 s2 . pred?)
    (let ((<= (if (null? pred?) <= (car pred?))))
      (let merge ((s1 s1)
                  (s2 s2))
        (cond ((null? s1) s2)
              ((null? s2) s1)
              ((<= (car s1) (car s2)) (cons (car s1) (merge (cdr s1) s2)))
              (else (cons (car s2) (merge s1 (cdr s2)))))))))

V těle nové verze procedury merge vytváříme lokální prostředís vazbou na symbol ⇐. V případě, že je proceduře merge předán volitelný argument (seznam navázanýna symbol pred?) je tedy neprázdný, bude na symbol ⇐ navázán tento argument, tedy první prvek seznamu pred?. V opačném případě ponecháme symbolu ⇐ jeho původní význam. V tomto lokálním prostředí pak pomocí pojmenovaného let vytváříme a jednorázově aplikujeme proceduru merge, která se nijak neliší od její předchozí verze.

Novou proceduru merge tedy můžeme použít se dvěma argumenty, v tom případě se bude chovat stejně jako ta původní:

(merge '(1 5 6 7 9) '(2 2 3 4 4 4 10)) ;⇒ (1 2 2 3 4 4 4 5 6 7 9 10)

nebo se třemi argumenty. Tehdy je třetím argumentem určeno uspořádání, v jakém by měly být setříděny slévané seznamy, a jakým způsobem probíhá výběr „menšího prvku“ při samotném slévání:

(merge '(9 7 6 5 1) '(10 4 4 4 3 2 2) >=) ;⇒ (10 9 7 6 5 4 4 4 3 2 2 1)

str226 Právě to nám umožňuje použít tuto proceduru ke slévání jiných seznamů než číselných. Můžeme například slévat seznamy obsahující racionální čísla v reprezentaci představené v sekci 4.6:

(merge (list (make-r 1 3) (make-r 2 3))
       (list (make-r 1 2) (make-r 2 2))
       r<=) ;⇒ ((1 . 3) (1 . 2) (2 . 3) (1 . 1))

Procedura slévání seznamů je tedy základem třídící metody mergesort. Celý popis této metody je následující:

Vstup: seznam (a predikát uspořádání)

Výstup: setříděný seznam

Postup:

• Pokud je seznam prázdnýnebo jednoprvkový, je již setříděnýa je výstupem.
• Jinak seznam rozdělíme na dvě části (seznamy), každou z nich setřídíme algoritmem mergesort.
• Tyto dva setříděné seznamy slijeme do jednoho, výsledný setříděný seznam je pak výstupem.

Samotné slévání bychom tedy měli implementované. Zbývánám implementace procedury na rozdělení seznamu na dvě části. Při dělenínám nezáležína zachování pořadí prvků, protože výsledné seznamy budou stejně setříděny metodou mergesort. Můžeme proto během jednoho průchodu projít všechny prvky seznamu a střídavě je dávat do dvou různých seznamů. Tím bude zajištěna časovásložitost O(n), kde n je délka seznamu. Implementace takové procedury by vypadala takto:

(define divide-list
  (lambda (l)
    (let divide
      ((l l)
       (1st '())
       (2nd '()))
      (if (null? l)
        (cons 1st 2nd)
        (divide (cdr l) 2nd (cons (car l) 1st))))))

Pomocí pojmenovaného let jsme nadefinovali iterativní proceduru divide. Její argumenty 1st a 2nd mají roli střadačů. Při každém kroku přidáváme první prvek seznamu l do jednoho z nich. Přitom je stále zaměňujeme, všimněte si, že při rekurzivním volání předáváme proceduře divide střadač 2nd jako argument 1st. Tím je dosaženo rovnoměrného rozdělení. Iterace končí po průchodu celým seznamem l, pak vracíme tečkový pár obou střadačů. Viz příklady aplikace této procedury.

(divide-list '()) ;⇒ (())
(divide-list '(1)) ;⇒ (() 1)
(divide-list '(1 2 3 5 6 7)) ;⇒ ((6 4 2) 7 5 3 1)

Nyní tedy napíšeme proceduru mergesort.

(define mergesort
  (lambda (l . pred?)
    (let ((<= (if (null? pred?) <= (car pred?))))
      (if (or (null? l) (null? (cdr l)))
        l
        (let ((divided-list (divide-list l)))
          (merge (mergesort (car divided-list) <=)
                 (mergesort (cdr divided-list) <=)
                 <=))))))

Jedná se o přímý přepis předpisu uvedeného výše. Procedurou mergesort můžeme třídit libovolné seznam na základě predikátu určujícího uspořádání jejich prvků. Viz následující příklady:

(mergesort '(2 5 3 4 1)) ;⇒ (1 2 3 4 5)
(mergesort '(2 5 3 4 1) >=) ;⇒ (5 4 3 2 1)

str227 Následující příklad ukazuje třídění seznamu racionálních čísel reprezenrovaných páry:

(map r->number
     (mergesort (list (make-r 2 1)
                      (make-r 1 2)
                      (make-r 3 2))
                r<=)) ;⇒ (1 3/2 2)

s8_6

V této sekci se budeme věnovat reprezentaci polynomů a procedurami manipulujícími s polynomy v této reprezentaci. Jednáse o komplexní příklad na kterém předvedeme práci se seznamy, použití rekurze, a použití procedur apply, eval a akumulačních procedur představených v předcházející lekci.

Polynomy jedné proměnné budeme reprezentovat pomocíseznamů čísel. Číslo na pozici i v naší reprezentaci polynomu bude představovat koeficient členu stupně i. Tedy například polynom \(5x^3 − 2x^2 + 1\) bude reprezentován seznamem (1 0 -2 5). Konstantní polynomy jsou tedy reprezentovány jednoprvkovými číselnými seznamy, například nulový a jednotkový polynom definujeme takto:

(define the-zero-poly '(0))
(define the-unit-poly '(1))

U reprezentací polynomu přitom nepovolujeme nadbytečné nuly na konci seznamu. Třeba seznamy (1 2 0), (1 2 0 0), (1 2 0 0 0) nejsou reprezentacemi polynomů. Z tohoto pravidla vyjímáme nulový polynom, který je vždy reprezentován jednoprvkovým seznamem (0). Dále prázdný seznam není reprezentací polynomu.

První procedurou v této sekci je konstruktor polynomu poly. Jedná se o proceduru libovolného počtu argumentů. Těmito argumenty jsou čísla – koeficienty polynomu, seřazené vzestupně podle řádu. Procedura poly vracíseznam reprezentující polynom se zadanými koeficienty. Činnost procedury si dobře uvědomíme na příkladech její aplikace:

(poly) ;⇒ (0) reprezentace polynom 0
(poly 0) ;⇒ (0) reprezentace polynom 0
(poly 0 0) ;⇒ (0) reprezentace polynom 0
(poly -1 2) ;⇒ (-1 2) reprezentace polynomu 2x − 1
(poly -1 0 2) ;⇒ (-1 0 2) reprezentace polynomu 2x^2 − 1
(poly -1 0 2 0 0 0) ;⇒ (-1 0 2) reprezentace polynomu 2x^2 − 1
(poly -1 0 2 0 0 0 3) ;⇒ (-1 0 2 0 0 0 3) reprezentace polynomux 3x^6 + 2x^2 − 1

Nyní se podíváme na implementaci této procedury:

(define poly
  (lambda coeffs
    (let ((result
            (let cons-poly
              ((coeffs coeffs)
               (zero-accum '()))
              (cond ((null? coeffs) '())
                    ((= (car coeffs) 0) (cons-poly (cdr coeffs)
                                                   (cons 0 zero-accum)))
                    (else (append zero-accum
                                  (list (car coeffs))
                                  (cons-poly (cdr coeffs) '())))))))
      (if (null? result)
        the-zero-poly
        result))))

str228 V těle procedury poly definujeme pomocí pojmenovaného let rekurzivní proceduru cons-poly, která bere dva argumenty. Prvním argumentem je seznam zbývajících koeficientů coeffs. Druhý argument je seznam zero-accum, který má funkci střadače. V tom si procedura cons-poly pamatuje počet nul od posledního nenulového koeficientu. Důvodem, proč tento střadač potřebujeme, je to, že reprezentace polynomu nesmí obsahovat nuly na konci. Pokud při zpracováníseznamu koeficientů narazíme na nulu, nemůžeme v daném okamžiku vědět, jestli všechny další koeficienty nebudou také nulové. Proto nulové koeficienty střádáme do seznamu zero-accum a použijeme je až při nalezení nenulového koeficientu.

Limitní podmínkou procedury cons-poly je skutečnost, že je seznam nezpracovaných koeficientů prázdný.

Pokud je splněna, je vrácen prázdný seznam. V opačném případě mohou nastat dvě situace. Buďto je dalšínezpracovaný koeficient (hlava seznamu coeffs) roven nule, a pak přidáme nulu do střadače zero-accum a pokračujeme zpracováním zbytku koeficientů procedurou cons-poly. Nebo je nenulovýa v tom případě přidáme všechny nuly ze střadače zero-accum a tento nenulový koeficient do seznamu, který vznikne aplikací procedury cons-poly seznam coeffs bez prvního prvku a prázdný střadač.

Výsledkem aplikace procedury cons-poly bude seznam, který nemána konci nuly. Může se však stát, že tento seznam bude prázdný. To nastane v případě, že všechny prvky seznamu coeffs budou čísla 0. Pokud tedy bude výsledkem prázdný seznam, budeme vracet reprezentaci nulového polynomu.

Pomocí právě nadefinovaného konstruktoru poly a procedury apply můžeme vytvořit proceduru konvertující seznam na reprezentaci polynomu:

(define list->poly
  (lambda (l) (apply poly l)))

Dále vytvoříme predikáty constant-poly? a zero-poly?. Jejich definice je velice jednoduchá proto kód nebudeme nijak komentovat. Tyto predikáty využijeme při implementaci dalších procedur v této sekci.

(define constant-poly?
  (lambda (p)
    (and (pair? p)
         (number? (car p))
         (null? (cdr p)))))
 
(define zero-poly?
  (lambda (p)
    (equal? p the-zero-poly)))

Nyní nadefinujeme proceduru poly-degree. Tato procedura bude pro zadaný polynom vracet jeho stupeň.

(define poly-degree
  (lambda (p)
    (if (constant-poly? p)
      0
      (+ 1 (poly-degree (cdr p))))))

Proceduru poly-degree jsme vytvořili jako jednoduchou rekurzivní proceduru. Limitní podmínkou je konstantnost polynomu. Je-li této podmínky dosaženo, je výsledkem nula. V opačném případě redukujeme problém na přičtení jedničky a nalezenístupně polynomu, který vznikne z původního polynomu odebráním prvního prvku z jeho reprezentace (což je v podstatě vydělení polynomu polynomem x). Uvedený kód je velice podobný programu 9.13 na straně 221, kde jsme implementovali proceduru zjišťující délku seznamu.

Procedura poly-degree tedy zjišťuje stupeň polynomu, jak se můžeme přesvědčit na následujících ukázkách použití této procedury:

(poly-degree (poly)) ;⇒ 0
(poly-degree (poly 0)) ;⇒ 0
(poly-degree (poly 0 0)) ;⇒ 0
(poly-degree (poly -1 2)) ;⇒ 1
(poly-degree (poly -1 0 2)) ;⇒ 2
(poly-degree (poly -1 0 2 0 0 0)) ;⇒ 2
(poly-degree (poly -1 0 2 0 0 0 3)) ;⇒ 5

str229 Další dvě procedury budou provádět násobení polynomu speciálními polynomy. Konkrétně procedura poly*xn bude násobit vstupní polynom polynomem xn a procedura poly*c bude násobit vstupní polynom konstantním polynomem c. Násobením polynomem xn je vzhledem k naší reprezentaci přidánín nul na začátek seznamu. Následuje implementace procedury poly*xn provádějící násobení polynomem xn:

(define poly*xn
  (lambda (p n)
    (if (= n 0)
      p
      (cons 0 (poly*xn p (- n 1))))))

Proceduru poly*xn jsme tedy napsali jako rekurzivní proceduru. Limitní podmínkou je rovnost čísla n nule. V takovém případě vracíme původní polynom. V opačném případě přidáváme nulu na začátek reprezentace součinu polynomu s polynomem xn−1. Ve skutečnosti bychom měli ještě provádět test na zjištění, jestli polynom p není nulovýa v takovém případě vracet vždy nulový polynom. Úpravu necháváme na čtenáři. Následují příklady volání:

(poly*xn (poly 1 0 -2) 0) ;⇒ (1 0 -2)
(poly*xn (poly 1 0 -2) 1) ;⇒ (0 1 0 -2)
(poly*xn (poly 1 0 -2) 2) ;⇒ (0 0 1 0 -2)
(poly*xn (poly 1 0 -2) 3) ;⇒ (0 0 0 1 0 -2)

Násobení polynomu konstantou c bude velice jednoduché. V případě, že je tato konstanta rovna nule, vracíme nulový polynom. Jinak stačí mapovat proceduru násobení konstantou na seznam reprezentující polynom. Definice takové procedury by vypadala takto:

(define poly*c
  (lambda (p c)
    (if (= c 0)
      the-zero-poly
      (map (lambda (x) (* c x)) p))))

Procedura poly*c tedy vrací polynom vynásobený konstantou:

(poly*c (poly 1 0 -2) 0) ;⇒ (0)
(poly*c (poly 1 0 -2) 1) ;⇒ (1 0 -2)
(poly*c (poly 1 0 -2) 2) ;⇒ (2 0 -4)
(poly*c (poly 1 0 -2) 3) ;⇒ (3 0 -6)

Další část sekce budeme věnovat operacím nad polynomy. Přesněji budeme implementovat procedury sčítání, odčítání násobení a dělení polynomů. Nejdříve tedy sčítání:

(define poly3+
  (lambda (p1 p2)
    (list->poly
      (let add ((p1 p1)
                (p2 p2))
        (cond ((null? p1) p2)
              ((null? p2) p1)
              (else (cons (+ (car p1) (car p2))
                          (add (cdr p1) (cdr p2)))))))))

V těle procedury poly2+ jsme vytvořili pomocí pojmenovaného let rekurzivní proceduru add. Procedura realizuje jednoduché sčítání členů polynomů po odpovídajících si složkách (konstantní člen prvního polynomu je přičten ke konstantnímu členu druhého polynomu, stejně tak pro lineární, kvadratický a dalšíčleny). Jediným problémem, který je potřeba ošetřit, jsou obecně různé stupně sčítaných polynomů, což se projeví v různě dlouhých vstupních seznamech.

Limitní podmínkou procedury poly2+ je skutečnost, že jeden ze vstupních seznamů je prázdný. V tom případě je vrácen druhý seznam. str230 Prázdný seznam sice není reprezentací polynomu, ale může se stát že při rozkladu problému bude proceduře add předán prázdný seznam. Problém na nalezenísoučtu polynomů zde rozkládáme na problém nalezení součtu jednodušších polynomů, které vzniknou z původních odebráním prvního prvku jejich reprezentace (aplikací procedury car), a přidání součtu těchto prvních prvků na začátek (aplikací procedury cons). Výsledný seznam ale nemusí být platnou reprezentací polynomu.

Například budou-li vstupem procedury add reprezentace polynomů x + 2 a −x − 1, tedy vstupem budou seznamy (2 1) a (-1 -1), bude výsledkem její aplikace seznam (1 0). To je dvouprvkový seznam končící nulou a tedy není platnou reprezentací seznamu. Proto na výsledek, který vrátí procedura add, aplikujeme ještě proceduru list→poly, kterou jsme nadefinovali výše. Viz příklady použití:

(poly3+ '(0) '(1 2 -3)) ;⇒ (1 2 -3)
(poly2+ '(1 2 3) '(0)) ;⇒ (1 2 3)
(poly2+ '(1 2 3) '(1 2 -3)) ;⇒ (2 4)
(poly2+ '(1 2 3) '(-1 2 -3)) ;⇒ (0 4)
(poly2+ '(1 2 3) '(-1 -2 -3)) ;⇒ (0)

Uvedená implementace procedury poly2+ je na jednu stranu elegantní, ale druhou stranu není příliš efektivní. Provádíme v ní vlastně dva průchody seznamem. V prvním ze dvou seznamů reprezentujících polynomy vytváříme seznam součtů koeficientů. Druhý průchod je proveden aplikací pomocné procedury list→poly, kdy z takto vytvořeného seznamu vytvoříme reprezentaci polynomu. Tyto dvě činnosti můžeme provádět současně a tak kód zefektivnit. Program definice procedury poly2+ by pak mohl vypadat:

(define poly2+
  (lambda (p1 p2)
    (let ((result
            (let add ((p1 p1)
                      (p2 p2)
                      (zero-accum '()))
              (cond ((and (null? p1) (null? p2)) '())
                    ((null? p1) (append zero-accum p2))
                    ((null? p2) (append zero-accum p1))
                    (else (let ((sum (+ (car p1) (car p2))))
                            (if (= sum 0)
                              (add (cdr p1) (cdr p2) (cons 0 zero-accum))
                              (append zero-accum
                                      (list sum)
                                      (add (cdr p1) (cdr p2) '())))))))))
      (if (null? result)
        the-zero-poly
        result))))

Tato definice poly2+ se liší od předchozí především v proceduře add, kterányní bere o jeden argument navíc. Tento argument zero-accum je pomocný a procedura add jej bude používat k zapamatovánísi počtu nul od posledního nenulového koeficientu, podobně jako tomu je u implementace procedury list→poly.

Procedura add je rekurzivní a stejně jako v předchozí implementaci je limitní podmínkou skutečnost, že je jeden ze vstupních seznamů prázdný. V tom případě vracíme druhý z nich. V případě, že limitní podmínka nebyla splněna, je vypočten součet prvních prvků vstupních seznamů. S tímto číslem pak procedura zachází podobně jako procedura list→poly. Tedy pokud je součet nulový, je rekurzivně volána procedura add, se seznamy bez prvních prvků a s pomocným seznamem zero-accum, do kterého přidáme nuly. Je-li naopak součet nenulový, je procedura add aplikována na ocasy seznamu, ale jako argument zero-accum je předán prázdný seznam. Nuly ze seznamu zero-accum a vypočtený součet prvních členů je připojen na začátek seznamu, který bude výsledkem této aplikace procedury add. Výsledkem aplikace procedury add bude vždy reprezentace polynomu, až na jednu výjimkou. Tou je prázdný seznam. A to vyřešíme jednoduchou podmínkou.

Jelikož je sčítání polynomů monoidální operace, můžeme pomocí procedury poly2+ a akumulační procedury foldr nadefinovat proceduru na sčítání libovolného množství polynomů:

(define poly+ (lambda polys (foldr poly2+ the-zero-poly polys)))

str231 Tuto proceduru tedy můžeme použít ke sčítání jakéhokoli počtu polynomů. Viz příklady aplikace:

(poly+) ;⇒ (0)
(poly+ '(1 2 3)) ;⇒ (1 2 3)
(poly+ '(1 2 3) '(10 20 30)) ;⇒ (11 22 33)
(poly+ '(1 2 3) '(10 20 30) '(-11 0 -33)) ;⇒ (0 22)
(poly+ '(1 2 3) '(10 20 30) '(-11 0 -33) '(0 -22)) ;⇒ (0)

Dále můžeme pomocí procedury sčítání dvou polynomů implementovat proceduru odčítání jednoho polynomu od druhého. Odečtení polynomu je vlastně přičtením opačného polynomu, ve smyslu vynásobení konstantou −1. Implementace je tedy velice přímočará:

(define poly-
  (lambda (p1 p2)
    (poly+ p1 (poly*c p2 -1))))

Procedura poly2* bude vracet součin dvou polynomů:

(define poly2*
  (lambda (p1 p2)
    (if (or (zero-poly? p1) (zero-poly? p2))
      the-zero-poly
      (let mul ((p1 p1)
                (p2 p2))
        (if (null? p1)
          '()
          (poly2+ (poly*c p2 (car p1))
                  (poly*xn (mul (cdr p1) p2) 1)))))))

Nejdříve jsme vyřešili speciální případ, tedy to, že alespoň jeden z polynomů byl nulový. K samotnému násobení jsme pak využili procedur poly2+, poly*c a poly*xn, které jsme nadefinovali výše v této sekci.

(poly2* '(0) '(1 2 3)) ;⇒ (0)
 
(poly2* '(1 2 3) '(0)) ;⇒ (0)
 
(poly2* '(1) '(1 2 3)) ;⇒ (1 2 3)
 
(poly2* '(0 1) '(1 2 3)) ;⇒ (0 1 2 3)
 
(poly2* '(-2 0 1) '(1 2 3)) ;⇒ (-2 -4 -5 2 3)

Stejně jako sčítání polynomů i násobení polynomů je monoidální operace. Proto můžeme podobným způsobem jako jsme dříve implementovali proceduru poly+ vytvořit proceduru poly*, která bude počítat součin libovolného počtu polynomů:

(define poly*
  (lambda polys
    (foldr poly2* the-unit-poly polys)))

A používat ji s libovolným počtem argumentů:

(poly*) ;⇒ (1)
 
(poly* '(1 2 3) '(0 1)) ;⇒ (0 1 2 3)
 
(poly* '(1 2 3) '(0 1) '(0 1)) ;⇒ (0 0 1 2 3)
 
(poly* '(1 2 3) '(0 1) '(0 1) '(2)) ;⇒ (0 0 2 4 6)

str232 Poslední zbývající operací je dělení polynomů, představované procedurou poly/. Kód si uvedeme včetně jednoduchých komentářů.

(define poly/
  (lambda (p1 p2)
    ;; pomocná procedura: vrat’ poslední prvek neprázdného seznamu (define last
    (lambda (l)
      (if (null? (cdr l))
        (car l)
        (last (cdr l)))))
 
  ;; vrat’ seznam (podíl zbytek)
  (let poly/
    ((p1 p1)
     (p2 p2))
 
    ;; rozlišenísituace podle tvaru dělitele
    (cond
      ;; nulový dělitel
      ((zero-poly? p2) 'divided-by-zero)
      ;; dělitel je konstantní polynom
      ((= (poly-degree p2) 0) (list (poly*c p1 (/ 1 (car p2))) '()))
      ;; stupeň dělence je menšínež stupeň dělitele
      ((< (poly-degree p1) (poly-degree p2)) (list '() p1))
      ;; stupeň dělence je většínebo roven stupni dělitele
      (else (let* ((leader (poly*xn (list (/ (last p1) (last p2)))
                                    (- (poly-degree p1) (poly-degree p2))))
                   (rest (poly/ (poly- p1 (poly* leader p2)) p2)))
              (list (poly+ leader (car rest)) (cadr rest)))))))

)

Tato procedura nám tedy vrací dvouprvkový seznam, jehož prvním prvkem je výsledek dělení a druhým prvkem je zbytek po tomto dělení. Neřešili jsme skutečnost, že tento výsledný seznam může obsahovat prázdný seznam, což není reprezentace polynomu. Úpravu opět ponecháváme na čtenáři. Viz příklady použití procedury:

(poly/ '(1 2 3) '(0)) ;⇒ „CHYBA: Pokus o dělenínulou.“
 
(poly/ '(1 2 3) '(1)) ;⇒ ((1 2 3) ())
 
(poly/ '(1 2 3) '(2)) ;⇒ ((1/2 1 1 1/2) (0))
 
(poly/ '(1 2 3) '(10)) ;⇒ ((1/10 1/5 3/10) (0))
 
(poly/ '(1 2 3) '(0 1)) ;⇒ ((2 3) (1))
 
(poly/ '(1 2 3) '(0 2)) ;⇒ ((1 1 1/2) (1))
 
(poly/ '(1 2 3) '(5 2)) ;⇒ ((-11/4 1 1/2) (59/4))
 
(poly/ '(1 2 3) '(5 2 3)) ;⇒ ((1) (-4))
 
(poly/ '(1 2 3) '(5 2 3 4)) ;⇒ ((0) (1 2 3))

Pomocí procedury poly/ jednoduše definujeme procedury poly-quotient a poly-modulo na zjišťování podílu a zbytku po dělení:

(define poly-quotient
  (lambda (p q)
    (car (poly/ p q))))
 
(define poly-modulo
  (lambda (p q)
    (cadr (poly/ p q))))

str233 Též můžeme napsat proceduru zjišt’ující hodnotu polynomu v daném bodě k, ta je totiž totožnáse zbytkem po dělení polynomem k − x:

(define poly-value
  (lambda (p k)
    (car (poly-modulo p (poly (- k) 1)))))

Popřípadě můžeme s využitím curryingu vytvářet z polynomů polynomiální funkce:

(define poly-function
  (lambda (p)
    (lambda (k)
      (poly-value p k))))

Procedura poly-sexpr bude brát dva argumenty – polynom p a symbol var – a bude převádět polynom na vyhodnotitelnyŚ-výraz. Navíc bude eliminovat násobení nulou a upravovat násobení jedničkou a přičítání nuly. Viz příklady aplikace této procedury:

(poly-sexpr '(0) 'x) ;⇒ 0
 
(poly-sexpr '(2) 'x) ;⇒ 2
 
(poly-sexpr '(0 1) 'x) ;⇒ x
 
(poly-sexpr '(2 1) 'x) ;⇒ (+ 2 x)
 
(poly-sexpr '(0 0 1) 'x) ;⇒ (* x x)
 
(poly-sexpr '(0 1 1) 'x) ;⇒ (+ x (* x x))
 
(poly-sexpr '(0 2 1) 'x) ;⇒ (+ (* 2 x) (* x x))
 
(poly-sexpr '(3 0 1) 'x) ;⇒ (+ 3 (* x x))
 
(poly-sexpr '(3 1 1) 'x) ;⇒ (+ 3 x (* x x))
 
(poly-sexpr '(3 2 1) 'x) ;⇒ (+ 3 (* 2 x) (* x x))

Nyní se podrobně podíváme na následující definici této procedury:

(define poly-sexpr
  (lambda (p var)
    (if (constant-poly? p)
      (car p)
      (let* ((result
               (let build ((p (cdr p))
                           (degree 1))
                 (cond ((null? p) '())
                       ((= (car p) 0) (build (cdr p) (+ degree 1)))
                       (else
                         (cons (if (and (= (car p) 1) (= degree 1))
                                 var
                                 (append (if (= (car p) 1)
                                           '(*)
                                           (list '* (car p)))
                                         (build-list degree
                                                     (lambda (i) var))))
                               (build (cdr p) (+ degree 1)))))))
             (result (if (= (car p) 0) result (cons (car p) result))))
        (cond ((null? result) 0)
              ((null? (cdr result)) (car result))
              (else (cons '+ result)))))))

V těle procedury poly-sexpr jsme nejdříve vyřešili speciální případ polynomů, kterým je konstantní polynom. S-výraz odpovídající takovému polynomu je právě jediný prvek z jeho reprezentace. Není-li polynom konstantní, procházíme procedurou build jeho reprezentaci – bez konstantního členu – a konstruujeme podle nínový seznam, který obsahuje místo každého nenulového prvku coef seznam (* coef var · · · var ).

Tento seznam obsahuje tolikrát symbol var , kolik je stupeň zpracovávaného členu polynomu. Stupeň aktuálního polynomu si přitom předáváme pomocí argumentu degree procedury build. str234 Toto „nahrazování“ má výjimku. Výjimkou jsou členy jejichž koeficient je 1, v takovém případě do seznamu nedáváme coef (řešíme násobení jedničkou), pokud mánavíc tento člen stupeň 1, nevytváříme seznam, ale nahrazujeme jej pouze symbolem var . Na začátek takto vzniklého seznamu přidáme konstantníčlen polynomu, je-li nenulový. Pokud je takto vzniklý seznam jednoprvkový, vracíme jeho jediný prvek. V opačném případě vracíme tento seznam s přidaným symbolem + na jeho začátku.

Poznámka 8.21. Ve zbytku této sekce budeme v příkladech použití implementovaných procedur používat k výpisu reprezentace polynomů výsledky aplikace procedury poly-sexpr.

Pomocí této procedury můžeme napsat proceduru nalezení hodnoty polynomu v daném bodě. Jednoduše vytvoříme let-blok, který bude vázat symbol x, a jehož těle bude S-výraz, který vytvoříme pomocí procedury poly-sexpr, ze zadaného polynomu a symbolu x. Takto zkonstruovaný let-blok vyhodnotíme pomocí procedury eval. Následuje definice právě popsané procedury:

(define poly-sexpr-value
  (lambda (p x)
    (eval (list 'let (list (list 'x x))
                (poly-sexpr p 'x)))))

Podobným způsobem jako jsme definovali proceduru poly-sexpr-value můžeme napsat i proceduru, která polynom převádí na proceduru jednoho argumentu, která představuje polynomiální funkci. Princip je stejný, jen výraz, který vznikne aplikací poly-sexpr „neobalíme“ let-blokem, ale λ-výrazem, a ten pak vyhodnotíme aplikací procedury eval. Definice této procedury by pak vypadala takto:

(define poly-sexpr-function
  (lambda (p)
    (eval (list 'lambda (list 'x)
                (poly-sexpr p 'x)))))

Na závěr této sekce naimplementujeme procedury symbolické derivace a symbolickeíntegrace polynomů.

Nejdříve tedy symbolická derivace realizovaná procedurou poly-diff:

(define poly-diff
  (lambda (p)
    (let ((result
            (let diff ((p (cdr p))
                       (n 1))
              (if (null? p)
                p
                (cons (* (car p) n)
                      (diff (cdr p) (+ n 1)))))))
      (if (null? result)
        the-zero-poly
        result))))

V kódu definujeme přes pojmenovaný let rekurzivní proceduru diff. Jejím prvním argumentem je seznam, druhým je pak čítač, ve kterém si procedura pamatuje kolikátá její aplikace právě probíhá. Toto číslo vlastně souhlasís aktuálně zpracovávaným prvkem seznamu reprezentujícího polynom a tedy také se stupněm odpovídajícího členu tohoto polynomu. Výsledkem aplikace procedury diff na číselný seznam je seznam, jehož prvky jsou prvky původního seznamu vynásobené jejich pozicemi (tentokrát výjimečně počítaných od 1). Této proceduře ale nepředáváme přímo derivovaný polynom, ale jeho reprezentaci bez prvního prvku (odebrání prvního prvku z reprezentace polynomu, znamená odebrání konstantního členu tohoto polynomu a sníženístupně ostatních prvků). Výsledek aplikace procedury diff na takový seznam, je-li neprázdný, odpovídá reprezentaci polynomu, který je derivací původního. Pokud je vrácen prázdný seznam (což se stane v případě, že jsme derivovali konstantní polynom), vracíme nulový polynom. Viz aplikace této procedury:

str235

(poly-sexpr (poly-diff '(5)) 'x) ;⇒ 0
 
(poly-sexpr (poly-diff '(5 2)) 'x) ;⇒ 2
 
(poly-sexpr (poly-diff '(5 2 4)) 'x) ;⇒ (+ 2 (* 8 x))
 
(poly-sexpr (poly-diff '(0 0 0 -7)) 'x) ;⇒ (* -21 x x)
 
(poly-sexpr (poly-diff '(5 2 4 -7)) 'x) ;⇒ (+ 2 (* 8 x) (* -21 x x))

Poslední proceduru, kterou napíšeme v této sekci, je procedura na symbolickou integraci polynomu. V jejím těle definujeme proceduru int. Ta prochází seznam podobně jako procedura diff, jen místo seznamu násobků prvků původního seznamu jejich pozicemi (bráno od 1), vrací seznam podílů prvků a jejich pozic.

Jako konstantní člen pak přidáváme pro jednoduchost nulu. Následuje definice této procedury:

(define poly-int
  (lambda (p)
    (let ((result
            (let int ((p p)
                      (n 1))
              (if (null? p)
                p
                (cons (/ (car p) n)
                      (int (cdr p) (+ n 1)))))))
      (if (zero-poly? result)
        the-zero-poly
        (cons 0 result)))))

Viz aplikace procedury poly-int:

(poly-sexpr (poly-int '(5)) 'x) ;⇒ (* 5 x)
 
(poly-sexpr (poly-int '(5 2)) 'x) ;⇒ (+ (* 5 x) (* x x))
 
(poly-sexpr (poly-int '(5 2 4)) 'x) ;⇒ (+ (* 5 x) (* x x) (* 4/3 x x x))
 
(poly-sexpr (poly-int '(0 0 0 -7)) 'x) ;⇒ (* -7/4 x x x x)
 
(poly-sexpr (poly-int '(5 2 4 -7)) 'x) ;⇒ (+ (* 5 x) (* x x) (* 4/3 x x x)
 
(* -7/4 x x x x)

V této lekci jsme se zabývali rekurzivními procedurami a výpočetními procesy generovanými těmito procedurami. Nejprve jsme uvedli rekurzi a princip indukce přes přirozená čísla. Dále jsme se zabývali strukturální rekurzí a strukturální indukcí. Ukázali jsme také obecné principy rekurze a indukce. Principy rekurze a indukce byly v obou případech (rekurze přes čísla a přes seznamy) těsně vázanéna strukturální vlastnosti prvků množin, se kterými jsme pracovali. Pro každé nezáporné celé číslo jsme vždy mohli udělat úvahu, že buď je číslo rovno nule, nebo je následníkem nějakého jiného čísla. Stejně tak každý seznam je buď prázdný, nebo vzniká z jiného seznamu připojením nového prvního prvku. Pomocí rekurze jsme definovali zobrazení mezi množinami čísel a seznamů. Pomocí indukce jsme prokazovali správnost a vlastnosti takto zavedených zobrazení. Dále jsme ze zabývali rekurzí a indukcíz pohledu programování. Představili jsme rekurzivní procedury jako procedury aplikujícísebe sama. Každá rekurzivní procedura, kterou jsme uvažovali, měla svůj rekurzivní předpis (předpisy) a limitní podmínku (podmínky). Vytváření rekurzivních procedur je přímočaré, pokud si dobře uvědomíme, jak má vypadat limitní podmínka (vztahujícíse ke krajnímu případu) a jak vypadá rekurzivní předpis, který vyjadřuje redukci problému na problém (nebo několik problémů) o menším rozsahu. Dále jsme zjistili, že rekurzivní procedury generují různé výpočetní procesy.

Zabývali jsme se třemi typy procesů generovaných rekurzivními procedurami, lineárně rekurzivním výpočetním procesem, lineárně iterativním výpočetním procesem a stromově rekurzivním výpočetním procesem. U každého z nich jsme uvedli několik metod stanovenísložitosti výpočetního procesu. Pro efektivní provádění iterativního procesu jsme upravili aplikaci uživatelsky definovaných procedur vzhledem k aplikaci z koncových pozic. Ukázali jsme rovněž užitečnýaparát, pomocínějž je možné vytvářet jednorázově aplikovatelné rekurzivní procedury. Lekci jsme uzavřeli sérií příkladů rekurzivních procedur pracujících se seznamy.

str236 Pojmy k zapamatování

• princip indukce, princip rekurze, aplikace sebe sama,
• rekurzivní definice, rekurzivní definice zobrazení,
• matematická indukce, indukce přes přirozenáčísla,
• strukturálně jednoduššíseznamy, strukturální indukce, strukturální rekurze,
• čistý funkcionální jazyk,
• rekurzivní procedura, rekurzivní aplikace procedury,
• limitní podmínka rekurze, předpis rekurze, série aplikací,
• fáze navíjení, odložený výpočet, deferred computation,
• dosažení limitní podmínky, fáze odvíjení,
• dekompozice, divide et impera, rozděl a panuj,
• rekurzivní výpočetní proces, liné arní rekurzivní výpočetní proces,
• koncová pozice, koncovaáplikace, koncová rekurze, koncově rekurzivní procedura,
• optimalizace na koncovou rekurzi, tail recursion optimization,
• degenerovaná fáze odvíjení, liné arní iterativní výpočetní proces, cyklus,
• lineárně rekurzivní procedura, iterativní procedura,
• čítač, střadač,
• jednorázovaáplikace,
• simulace navíjení a odvíjení pomocízásobníku,
• stromově rekurzivní výpočetní proces.

Nově představené prvky jazyka Scheme

• speciální forma: pojmenovaný let.

1. K čemu slouží princip rekurze?

2. K čemu byste použili indukci?

3. Jak lze dokázat správnost rekurzivních definic?

4. Jaký je rozdíl mezi matematickou indukcí a strukturální indukcí?

5. Co to znamená, že jeden seznam je strukturálně jednoduššínež jiný seznam?

6. Je Scheme čistý funkcionální jazyk?

7. Co jsou to rekurzivní procedury?

8. Co říká princip „divide et impera“?

9. Jaký je rozdíl mezi rekurzivními procedurami a procedurami, se kterými jsme pracovali v předchozích lekcích?

10. Jaký je rozdíl mezi rekurzivní procedurou a rekurzivním výpočetním procesem?

11. Jaké typy rekurzivních výpočetních procesů znáte?

12. Co je charakteristické pro lineárně rekurzivní výpočetní proces?

13. Jak je definována koncová pozice?

14. Co je to koncovaáplikace a koncově rekurzivní procedura?

15. Jak je ve většině programovacích jazyků realizována iterace?

16. Má každý lineárně iterativní výpočetní proces liné arníčasovou složitost?

17. Co jsou a k čemu sloužíčítače?

18. Co jsou a k čemu sloužístřadače?

19. V jakých fázích probíhají jednotlivé rekurzivní výpočetní procesy?

20. Z jakého důvodu je v rekurzivních procedurách přítomná limitní podmínka?

21. Co máme na mysli pod pojmem jednorázovaáplikace rekurzivní procedury?

str237

22. Jakým způsobem lze vždy nahradit rekurzivní proceduru iterativní procedurou?

23. U kterých výpočetních procesů roste exponenciálně počet prostředí vzniklých během aplikace?

24. Kterýz rekurzivních výpočetních procesů je možné snadno „zastavit“ a „rozběhnout“?

1. Naprogramujte proceduru perrin jednoho argumentu n , která vracín -týčlen Pn Perinovy posloupnosti. Perinova posloupnost je definována následujícím předpisem:

 3

pokud n = 0,





 0

pokud n = 1,

Pn =

2

pokud n = 2,





 Pn−2 + Pn−3

jinak.

Proceduru implementujte

(a) jako rekurzivní proceduru

(b) jako iterativní proceduru

© pomocí pojmenovaného let

2. Napište rekurzivní proceduru vracející aritmetický průměr čísel v seznamu.

3. Napište rekurzivní verzi procedury list-indices, kterou jsme definovali v programu 6.5.

4. Implementujte Euklidův algoritmus na výpočet největšího společného dělitele.

5. Naprogramuje proceduru reverse pomocí pojmenovaného let.

6. Doplňte sadu procedur pro práci s polynomy ze sekce 8.6 o:

(a) predikát poly?, který zjišťuje, zda je jeho argument reprezentací seznamu (b) konstruktor poly-roots libovolného počtu argumentů vytvářející polynom podle výčtu všech jeho kořenů.

© proceduru poly-gcd, která počítá největší společný dělitel dvou polynomů, a která bude implementaci Euklidova algoritmu na polygomech.

1. Zamyslete se, proč první argument speciální formy if není v koncové pozici. Co by nefungovalo?

2. Určete složitosti procedur uvedených v sekci 8.6.

3. Napište proceduru pascal, která přijímá dva číselné argumenty x , y a vrací prvek pascalova trojúhelníka na pozici ( x , y ). Viz příklady volání:

(pascal 0 0) ;⇒1 (pascal 5 1) ;⇒5 (pascal 5 3) ;⇒10 (pascal 7 3) ;⇒35

Určete složitost vašeho řešení.

str238

1.

(define perrin
  (lambda (n)
    (cond ((= n 0) 3)
	  ((= n 1) 0)
	  ((= n 2) 2)
	  (else (+ (perrin (- n 2))
		   (perrin (- n 3)))))))

(a)

(define perrin
  (lambda (n)
    (define iter
      (lambda (a b c i)
        (if (<= i 0)
          a
          (iter b c (+ a b) (- i 1)))))
    (iter 3 0 2 n)))

(b)

(define perrin
  (lambda (n)
    (let iter ((a 3) (b 0) (c 2) (i n))
      (if (<= i 0)
        a
        (iter b c (+ a b) (- i 1))))))

2.

(define arit-means
  (lambda numbers
    (if (null? numbers)
      #f
      (let iter ((l numbers)
		 (accum 0)
		 (nr 0))
	(if (null? l)
	  (/ accum nr)
	  (iter (cdr l) (+ accum (car l)) (+ nr 1)))))))

3.

(define list-indices
  (lambda (l elem)
    (let find-occurrs
      ((l l)
       (i 0))
      (cond ((null? l) '())
            ((equal? elem (car l)) (cons i (find-occurrs (cdr l) (+ i 1))))
            (else (find-occurrs (cdr l) (+ i 1)))))))

4.

(define gcd
  (lambda (a b)
    (if (= b 0)
      a
      (gcd b (modulo a b)))))

5.

(define reverse
  (lambda (l)
    (let iter ((l l)
               (accum '()))
      (if (null? l)
        accum
        (iter (cdr l) (cons (car l) accum))))))

6.

(a)

(define poly?
  (lambda (p)
    (or (constant-poly? p)
        (and (pair? p)
             (let poly-test ((p p)
                             (last-zero? #f))
               (if (null? p)
                 (not last-zero?)
                 (if (and (pair? p) (number? (car p)))
                   (poly-test (cdr p) (= (car p) 0))
                   #f)))))))

str239 (b)

(define poly-roots
  (lambda roots
    (if (null? roots)
      the-unit-poly
      (poly* (poly (- (car roots)) 1)
             (apply poly-roots (cdr roots))))))

©

(define poly-gcd
  (lambda (p1 p2)
    (let ((m (poly-modulo p1 p2)))
      (if (zero-poly? m)
        p2
        (poly-gcd p2 m)))))

str240